BSGS及扩展BSGS总结（BSGS，map）

蒟蒻哪里有什么总结，只能点击%YL%

还有这位ZigZagK大佬的blog

\(\mbox{BSGS}\)

模板题：洛谷P3846 [TJOI2007]可爱的质数

给定\(a,b\)和模数\(\mbox{YL}\)，求\(a^x\equiv b(\bmod\mbox{YL})\)中\(x\)的最小非负整数解。保证\(\gcd(a,\mbox{YL})=1\)。

设\(k=\lceil\sqrt{\mbox{YL}}\rceil\)，令\(x=ky-c\)（\(y\in[1,k],c\in[0,k)\)，故分解唯一）

于是有\(a^{ky}\equiv ba^c(\bmod\mbox{YL})\)

两边的取值都只有\(k\)种，枚举右边丢进map，再枚举左边查找一下即可得到最小的解。

复杂度\(O(\sqrt{\mbox{YL}}\log\sqrt{\mbox{YL}})\)。注意特判掉一些特殊情况。

#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
#define RG register
#define R RG int
using namespace std;
map<int,int>c;
inline LL qpow(RG LL b,R k,RG LL YL){//快速幂
	RG LL a=1;
	for(;k;k>>=1,b=b*b%YL)
		if(k&1)a=a*b%YL;
	return a;
}
int main(){
	R a,b,YL;
	cin>>YL>>a>>b;
	if((b%=YL)==1)return puts("0"),0;//特判×2
	if((a%=YL)==0)return puts("no solution"),0;
	R k=sqrt(YL)+1,y;
	RG LL p,pw=qpow(a,k,YL);
	for(p=b,y=0;y<k;++y,(p*=a)%=YL)//预处理
		c[(int)p]=y;
	for(p=pw,y=1;y<=k;++y,(p*=pw)%=YL)//查找
		if(c.count((int)p))return(cout<<(LL)k*y-c[(int)p]<<endl),0;
	return puts("no solution"),0;//找不到
}

扩展\(\mbox{BSGS}\)

模板题：洛谷P4195 Spoj3105 Mod

双倍经验：洛谷SP3105 MOD - Power Modulo Inverted

可以解决\(\gcd(a,\mbox{YL})\neq1\)的情况，核心思想是试探性地约去\(\gcd\)。

同余方程\(a^x\equiv b(\bmod\mbox{YL})\)，可以提一个\(a\)出来改成不定方程\(a\cdot a^{x-1}+\mbox{YL}\cdot y=b\)，等于说暂时把\(a^{x-1}\)看成了未知数。

设\(g=\gcd(a,\mbox{YL})\)，学完exgcd之后我们就知道了如果\(g\nmid b\)则方程组无解。否则就可以约成\(\frac a g\cdot a^{x-1}+\frac{\mbox{YL}}g\cdot y=\frac b g\)

我们把约简后的方程看作一个新的不定方程\(a'\cdot a^{x-1}+\mbox{YL}'\cdot y=b'\)，如果\(\gcd(a,\mbox{YL}')\)还是不为\(1\)的话，我们就再从幂里面拿出一个\(a\)和\(\mbox{YL}'\)约。如此循环。

终于在约了\(cnt\)次后，我们得到了一个\(\gcd=1\)的方程了，变回来就是\(a'\cdot a^{x-cnt}\equiv b'(\bmod\mbox{YL}')\)

接下来的解法已经属于常规\(\mbox{BSGS}\)了，不过因为一些细节上的区别还是再写一遍。

仍然设\(k=\lceil\sqrt{\mbox{YL}'}\rceil\)，令\(x=ky-c\)（\(y\in[1,k],c\in[0,k)\)）

于是有\(a'\cdot a^{ky}\equiv ba^{cnt}\cdot a^c(\bmod\mbox{YL}')\)，其实只是恒等号两边多乘了点东西而已。

约分多出来的复杂度是\(O(\log^2\mbox{YL})\)，因为最多被约\(\log\)次，它的阶小于根号就忽略掉了。又要注意一些特判。

#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
#define RG register
#define R RG int
using namespace std;
map<int,int>c;
inline LL qpow(RG LL b,R k,RG LL YL){
    RG LL a=1;
    for(;k;k>>=1,b=b*b%YL)
        if(k&1)a=a*b%YL;
    return a;
}
int gcd(R x,R y){
    return y?gcd(y,x%y):x;
}
int main(){
    R a,b;RG LL YL;
    cin>>a>>YL>>b;
    while(a||b||YL){
        R x=-1,a1=1,cnt=0,g,k,y,p,pw;
        a%=YL;
        if((b%=YL)==1){x=0;goto L;}//这个特判上面提过
        while((g=gcd(a,YL))!=1){
            if(b%g)goto L;//无解充要条件
            ++cnt;b/=g;YL/=g;
            a1=a/g*(LL)a1%YL;
            if(a1==b){x=cnt;goto L;}
        }//注意这个特判，此时等价于a^{x-cnt}≡1(mod YL)
        c.clear();//多组数据注意清空
        k=sqrt(YL)+1;//常规BSGS过程
        pw=qpow(a,k,YL);
        p=b*qpow(a,cnt,YL)%YL;
        for(y=0;y<k;++y,p=(LL)p*a%YL)
            c[p]=y;
        p=(LL)a1*pw%YL;//多乘一个a1
        for(y=1;y<=k;++y,p=(LL)p*pw%YL)
            if(c.count(p)){x=k*y-c[p];break;}
      L:~x?printf("%d\n",x):puts("No Solution");
        cin>>a>>YL>>b;
    }
    return 0;
}