[洛谷P2627] 修剪草坪

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题意：不能有连续超过$k$个奶牛的一段，求最大的和

思路分析

Dp还是容易看出来的。

我的第一感觉是一维，$f[i]$表示前i头奶牛的最大效率。其实这也是可以解的，具体方法将会在后文介绍。

考虑二维的解法，$f[i][0]$表示奶牛i不参与时的最大效率，$f[i][1]$表示奶牛i参与。我们知道，在前$k$头奶牛中必定有一头奶牛不参与——对于$f[i][0]$转移很简单，由于奶牛$i$不参与，一定是选择继承，所以必定有$$f[i][0] = Max(f[i-1][0], f[i-1][1])$$. 而$f[i][1]$可以利用$f[i-j][0]$（0<j<K)来转移：$$f[i][1] = Max(f[i-j][0] + sum[i] - sum[i-j])$$

这个方程的意思就是$i-j$这头奶牛不选，并继承最优子结构$f[i-j][0]$，然后$i-j$之后的奶牛全部选择，于是用一个前缀和来维护即可。整理方程发现，$sum[i]$是确定的，于是可以将它提出$Max$之外，得到$$f[i][1] = Max(f[i-j][0] - sum[i-j]) + sum[i]$$我们发现这个方程就只与i-j有关了，并且是个定长区间的最大值——很容易让我们联想到滑动窗口问题，于是通过单调队列来解决就好了。

下面的代码贴的是以上之中方法……

刚才我们提到了可以用一维来解决，即$f[i]$表示前$i$头奶牛的最大效率。其实是与二维一模一样的，二维实在是多此一举。由于$i-j$根本不选，我们可以直接继承$f[i-j-1]$，在加上前缀和，就有了方程$$f[i][1] = Max(f[i-j-1] - sum[i-j]) + sum[i]$$

Code

　　long long

/*By QiXingzhi*/
#include <cstdio>
#define  N  (100010)
#define  INF   (0x3f3f3f3f)
#define  Max(a,b)  (((a)>(b)) ? (a) : (b))
#define  Min(a,b)  (((a)<(b)) ? (a) : (b))
#define  r read()
typedef long long ll;
#define int ll
using namespace std;
inline int read(){
    ; ; register int c = getchar();
    ')) c = getchar();
    , c = getchar();
    ) +(x << ) + c - ', c = getchar();
    return x * w;
}
,t;
],q[N],s[N];
inline void Push(int w){
    ]-s[w] > f[q[t]][]-s[q[t]]) --t;
    q[++t] = w;
}
#undef int
int main(){
#define int ll
    n=r,k=r;
    ; i <= n; ++i){
        a[i]=r;
        s[i] = s[i-]+a[i];
    }
    f[][] = ;
    f[][] = a[];
    Push();
    Push();
    ; i <= n; ++i){
        f[i][] = Max(f[i-][], f[i-][]);
        while(h<=t && q[h] < i-k) ++h;
        f[i][] = f[q[h]][] + s[i] - s[q[h]];
        Push(i);
    }
    printf(],f[n][]));
    ;
}