P2764 最小路径覆盖问题(网络流24题之一)
题目描述
«问题描述:
给定有向图G=(V,E)。设P 是G 的一个简单路(顶点不相交)的集合。如果V 中每个顶点恰好在P 的一条路上,则称P是G 的一个路径覆盖。P 中路径可以从V 的任何一个顶点开始,长度也是任意的,特别地,可以为0。G 的最小路径覆盖是G 的所含路径条数最少的路径覆盖。设计一个有效算法求一个有向无环图G 的最小路径覆盖。提示:设V={1,2,.... ,n},构造网络G1=(V1,E1)如下:
每条边的容量均为1。求网络G1的( 0 x , 0 y )最大流。
«编程任务:
对于给定的给定有向无环图G,编程找出G的一个最小路径覆盖。
输入输出格式
输入格式:
件第1 行有2个正整数n和m。n是给定有向无环图G 的顶点数,m是G 的边数。接下来的m行,每行有2 个正整数i和j,表示一条有向边(i,j)。
输出格式:
从第1 行开始,每行输出一条路径。文件的最后一行是最少路径数。
输入输出样例
11 12
1 2
1 3
1 4
2 5
3 6
4 7
5 8
6 9
7 10
8 11
9 11
10 11
1 4 7 10 11
2 5 8
3 6 9
3
说明
1<=n<=150,1<=m<=6000
由@zhouyonglong提供SPJ
Solution:
先简单的解释一下最小路径覆盖:大致就是在一个有向无环图中,用最少多少条简单路径能将所有的点覆盖(简单路径简单来说就是一条路径不能和其他路径有重复的点,当然也可以认为单个点是一条简单路径)。
仔细思考,容易发现有些类似于二分图匹配的问题,异曲同工。
算法:把原图的每个点V拆成Vx和Vy两个点,如果有一条有向边A->B,那么就加边Ax−>By。这样就得到了一个二分图。那么最小路径覆盖=原图的结点数-新图的最大匹配数。
证明:一开始每个点都是独立的为一条路径,总共有n条不相交路径。我们每次在二分图里找一条匹配边就相当于把两条路径合成了一条路径,也就相当于路径数减少了1。所以找到了几条匹配边,路径数就减少了多少。所以有最小路径覆盖=原图的结点数-新图的最大匹配数。
因为路径之间不能有公共点,所以加的边之间也不能有公共点,这就是匹配的定义。
方法一:二分图匹配。综合上述所说的,我们可以直接建图,然后跑匈牙利算法,输出的话只需将所匹配的点依次输出就ok了。
代码(copy一份):
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int maxn = ;
const int maxm = ;
struct Edge
{
int v;
Edge *next;
}E[maxm], *H[maxn], *edges;
int res[maxn];
int vis[maxn];
void addedges(int u, int v)
{
edges->v = v;
edges->next = H[u];
H[u] = edges++;
}
void init()
{
edges = E;
memset(H, , sizeof H);
memset(res, -, sizeof res);
}
bool find(int u)
{
for(Edge *e = H[u]; e; e = e->next) if(!vis[e->v]) {
int v = e->v;
vis[v] = ;
if(res[v] == - || find(res[v])) {
res[v] = u;
return true;
}
}
return false;
}
int n, m;
vector<int> ans;
int to[maxn];
void work()
{
int u, v;
for(int i = ; i <= m; i++) {
scanf("%d%d", &u, &v);
addedges(u, v);
}
int result = ;
for(int i = ; i <= n; i++) {
memset(vis, , sizeof vis);
if(find(i)) result++;
}
memset(to, , sizeof to);
for(int i = ; i <= n; i++) if(res[i] != -) to[res[i]] = i;
for(int i = ; i <= n; i++) if(res[i] == -) {
ans.clear();
int u = i;
ans.push_back(u);
while(to[u]) {
u = to[u];
ans.push_back(u);
}
for(int j = ; j < ans.size(); j++) printf("%d%c", ans[j], j == ans.size() - ? '\n' : ' ');
}
printf("%d\n", n - result);
}
int main()
{
scanf("%d%d", &n, &m);
init();
work();
return ;
}
方法二:网络最大流。这里的做法和二分图匹配用最大流的做法是一样的。附加炒鸡源S和炒鸡汇T,然后建图(边权为1),最后跑最大流,输出时方法很多,我选择的是从汇点按残余流量的有无来往前找一条路径并递归输出。
代码(手打Dinic):
#include<bits/stdc++.h>
#define il inline
using namespace std;
const int N=,inf=;
int n,m,s,t=,h[N],dis[N],cnt=,fa[N];
struct edge{
int to,net,v;
}e[];
il void add(int u,int v,int w)
{
e[++cnt].to=v,e[cnt].net=h[u],e[cnt].v=w,h[u]=cnt;
e[++cnt].to=u,e[cnt].net=h[v],e[cnt].v=,h[v]=cnt;
}
queue<int>q;
il bool bfs()
{
memset(dis,-,sizeof(dis));
q.push(s),dis[s]=;
while(!q.empty())
{
int u=q.front();q.pop();
for(int i=h[u];i;i=e[i].net)
if(dis[e[i].to]==-&&e[i].v>)dis[e[i].to]=dis[u]+,q.push(e[i].to);
}
return dis[t]!=-;
}
il int dfs(int u,int op)
{
if(u==t)return op;
int flow=,used=;
for(int i=h[u];i;i=e[i].net)
{
int v=e[i].to;
if(dis[v]==dis[u]+&&e[i].v)
{
used=dfs(v,min(op,e[i].v));
if(!used)continue;
flow+=used,op-=used;
e[i].v-=used,e[i^].v+=used;
fa[u]=v;
if(!op)break;
}
}
if(!flow)dis[u]=-;
return flow;
}
il void print(int x)
{
if(x<=s)return;
printf("%d ",x);
for(int i=h[x];i;i=e[i].net)
if(!e[i].v&&e[i].to<=n*)print(e[i].to-n);
}
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=;i<=n;i++)fa[i]=i;
for(int i=;i<=n;i++)add(s,i,),add(i+n,t,);
int u,v;
for(int i=;i<=m;i++)
{
scanf("%d%d",&u,&v);
add(u,v+n,);
}
int ans=n;
while(bfs())ans-=dfs(s,inf);
for(int i=h[t];i;i=e[i].net)
{
if(e[i].v)continue;
print(e[i].to-n),printf("\n");
}
printf("%d",ans);
return ;
}
P2764 最小路径覆盖问题(网络流24题之一)的更多相关文章
- 洛谷-p2764(最小路径覆盖)(网络流24题)
#include<iostream> #include<algorithm> #include<queue> #include<cstring> #in ...
- P2764 最小路径覆盖问题 网络流重温
P2764 最小路径覆盖问题 这个题目之前第一次做的时候感觉很难,现在好多了,主要是二分图定理不太记得了,二分图定理 知道这个之后就很好写了,首先我们对每一个点进行拆点,拆完点之后就是跑最大流,求出最 ...
- Luogu 2764 最小路径覆盖问题 / Libre 6002 「网络流 24 题」最小路径覆盖 (网络流,最大流)
Luogu 2764 最小路径覆盖问题 / Libre 6002 「网络流 24 题」最小路径覆盖 (网络流,最大流) Description 给定有向图G=(V,E).设P是G的一个简单路(顶点不相 ...
- P2764 最小路径覆盖问题
题目描述 «问题描述: 给定有向图G=(V,E).设P 是G 的一个简单路(顶点不相交)的集合.如果V 中每个顶点恰好在P 的一条路上,则称P是G 的一个路径覆盖.P 中路径可以从V 的任何一个顶点开 ...
- Luogu P2764 最小路径覆盖问题(二分图匹配)
P2764 最小路径覆盖问题 题面 题目描述 «问题描述: 给定有向图 \(G=(V,E)\) .设 \(P\) 是 \(G\) 的一个简单路(顶点不相交)的集合.如果 \(V\) 中每个顶点恰好在 ...
- 洛谷 P2764 最小路径覆盖问题 解题报告
P2764 最小路径覆盖问题 问题描述: 给定有向图\(G=(V,E)\).设\(P\) 是\(G\) 的一个简单路(顶点不相交)的集合.如果\(V\) 中每个顶点恰好在\(P\) 的一条路上,则称\ ...
- [loj #6003]「网络流 24 题」魔术球 二分图最小路径覆盖,网络流
#6003. 「网络流 24 题」魔术球 内存限制:256 MiB时间限制:1000 ms标准输入输出 题目类型:传统评测方式:Special Judge 上传者: 匿名 提交提交记录统计讨论测试数据 ...
- 网络流二十四题之P2764 最小路径覆盖问题
题目描述 给定有向图 G=(V,E)G=(V,E) .设 PP 是 GG 的一个简单路(顶点不相交)的集合.如果 VV 中每个定点恰好在PP的一条路上,则称 PP 是 GG 的一个路径覆盖.PP中路径 ...
- 【刷题】洛谷 P2764 最小路径覆盖问题
题目描述 «问题描述: 给定有向图G=(V,E).设P 是G 的一个简单路(顶点不相交)的集合.如果V 中每个顶点恰好在P 的一条路上,则称P是G 的一个路径覆盖.P 中路径可以从V 的任何一个顶点开 ...
随机推荐
- Java——基于java自身包实现消息系统间的通信(TCP/IP+BIO)
最近看到阿里的一位童鞋写的一本关于分布式的书,感觉不错,准备把这本书上基础的代码都写一写. /** * Created by LiuHuiChao on 2016/11/15. * descripti ...
- 3060 抓住那头奶牛 USACO
3060 抓住那头奶牛 USACO 时间限制: 1 s 空间限制: 16000 KB 题目等级 : 黄金 Gold 题目描述 Description 农夫约翰被告知一头逃跑奶牛的位置,想要立即抓住它, ...
- springboot 中根据数据库表生成所有表的model,mapper和xml文件
参考文件:https://blog.csdn.net/shenmoren6/article/details/80337662?utm_source=blogxgwz1 详细信息:https://blo ...
- Objective-C 方法交换实践(二) - 方法指针交换
一. 基本函数 根据 sel 得到 class 的实例方法 Method class_getInstanceMethod(Class cls, SEL name) 根据 sel 得到 class 的函 ...
- python全栈开发-面向对象-进阶
python_day_18 1,面向对象的三大特性是什么?继承,多态,封装2,什么是面向对象的新式类?什么是经典类?凡是继承object类都是新式类.凡是不继承object类都是经典类.3,面向对象为 ...
- springmvc传参---LocalDateTime、Date等时间类型转换
此处定义的dateConvert用来转换Date类型,如果是LocalDate.LocalDateTime类型,则将Date类型换成相应的类型即可,注意java8的日期类型需要用Formatter格式 ...
- CentOS7.2 部署Haproxy 1.7.2
原文发表于cu:2017-03-16 参考文档: haproxy:http://www.haproxy.org/ 本文涉及haproxy的安装,并做简单配置. 一.环境准备 1. 操作系统 CentO ...
- day05 字典 dict
今日内容: 字典 成对的保存数据. 以key:value的形式保存 用{}表示,每一项内容都是key:value, 每项数据之间用逗号隔开 字典中的key是不能重复的. 存储是依靠着key来计算的. ...
- php json 转换
在PHP语言中使用JSON 作者: 阮一峰 日期: 2011年1月14日 目前,JSON已经成为最流行的数据交换格式之一,各大网站的API几乎都支持它. 我写过一篇<数据类型和JSON格式& ...
- php爬虫学习笔记1 PHP Simple HTML DOM Parser
常用爬虫. 0. Snoopy是什么? (下载snoopy) Snoopy是一个php类,用来模仿web浏览器的功能,它能完成获取网页内容和发送表单的任务. Snoopy的一些特点: * ...