n个点的基环树数量

某裴姓蒟蒻上午提了一个小问题(rt)。。然后他升华了。。升华之前感受到了神犇的力量。。。

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方法一：

g[n][k]表示n个点,k条边的无向图（不一定连通）

f[n][k]表示表示n个点,k条边的无向连通图

咕咕了。。。自己讲不清。。。O(n^4)

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方法二：

我们可以枚举环的大小，设为$i$,则可以从$ n$个中随意选$i$个点即$C_n^i$，造出本质不同的环的数量为$(i-1)!$，但是会有翻转同构，所以要$/2$；

当n个点有k个连通块，把他们连成一棵树的方案数是：$ \Pi sz_i \space* n^{k-2}$

证明：把连通块看成点，$sz_i$表示第$i$个连通块的点数

枚举$Prufer$序列，设$p_i$为$Prufer$序列中的第$i$项，$q_i$代表$i$在$Prufer$序列中的出现次数，

则有 $ \Sigma_{Prufer}\space \Pi sz_i^{q_i+1} \space q_i+1$相当于是$i$的度数，而每个点都有可能是连边的点，所以是$sz_i^{q_i+1}$

$\Pi sz_i \space \Sigma_{Prufer}\space \Pi sz_i^{q_i}$

$\Pi sz_i \space \Sigma_{Prufer} \space \Pi sz_{p_i}$

根据$Prufer$序列的性质，我们知道$Prufer$序列长$ k-2$并且每个位置都可以填$[1,k]$

所以根据乘法原理（或是说乘法分配律）可知：

$\Sigma_{Prufer} \space \Pi sz_{p_i}=\Pi_{p=1}^{k-2}\Sigma_{i=1}^k sz_i$

所以有$\Pi sz_i \space \Pi_{p=1}^{k-2}\Sigma_{i=1}^k sz_i$，而$\Sigma_{i=1}^k sz_i=n$

即$\Pi sz_i \space n^{k-2}$

证毕

此时每个点的$sz$都是$1$，除了那个环的$sz$是$i$，共有$n-i+1$个点（连通块）

所以公式为$C_n^i*(i-1)!*i*n^{n-i+1-2}=C_n^i*i!*n^{n-i-1}$

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咕了一天qwq2019.05.20