Tour（dp）

Tour（dp）

给定平面上n(n<=1000)个点的坐标（按照x递增的顺序），各点x坐标不同，且均为正整数。请设计一条路线，从最左边的点出发，走到最右边的点后再返回，要求除了最左点和最右点之外每个点恰好经过一次，且路径总长度最短。两点间的长度为它们的欧几里得距离。

首先转换一下题意，可以看作找到两条不相交（除了起点终点）且总长最短的路径。这种题型有一个套路，就是让两个点再路径上模拟前进。如果用\(d(i, j)\)表示第一个人走到i，第二个人走到j，那么就不能设计出转移方程，因为不能保证两个人不会走到相同的点。没有定义好状态，导致转移困难。

所以需要发现这道题的性质。走回头路肯定是不优的。因此，我们可以把状态修改为：\(d(i, j)\)表示1～max(i, j)全部走过，且两个人的当前位置分别是i和j，走过的最短距离。不难由对称性发现\(d(i, j)=d(j, i)\)，因此，在状态中规定i>j。状态转移的关系是：\(d(i, j)\ to\ d(i+1, j)\ or\ d(i+1, i)\)。（本来是转移到i,i+1的，但是我们规定i>j）。至此状态转移方程就很明了了。这样的状态设计是包括所有可能正确的情况的。具体实现和边界处理参见代码。

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int maxn=1005, INF=1e9;
int n, x[maxn], y[maxn];
double f[maxn][maxn], ans;

inline int sqr(int x){ return x*x; }
inline double dis(int a, int b){
    return hypot(x[a]-x[b], y[a]-y[b]);
}

int main(){
    while (~scanf("%d", &n)){
        for (int i=0; i<n; ++i)
            scanf("%d%d", &x[i], &y[i]);
        for (int i=0; i<n; ++i)
            for(int j=0; j<n; ++j) f[i][j]=INF;
        f[1][0]=0;
        ans=INF;
        for (int i=1; i<n; ++i){
            for (int j=0; j<i; ++j) if (i!=n-1){
                f[i+1][j]=min(f[i+1][j], f[i][j]+dis(i, i+1));
                f[i+1][i]=min(f[i+1][i], f[i][j]+dis(j, i+1));
            } else ans=min(ans, f[n-1][j]+dis(n-1, j));
        }
        printf("%.2lf\n", ans+dis(0, 1));
    }
    return 0;
}