生日蛋糕 （codevs 1710） 题解

【问题描述】

7月17日是Mr.W的生日，ACM-THU为此要制作一个体积为Nπ的M层生日蛋糕，每层都是一个圆柱体。

设从下往上数第i(1<=i<=M)层蛋糕是半径为Ri,高度为Hi的圆柱。当i<M时，要求Ri>Ri+1且Hi>Hi+1。

由于要在蛋糕上抹奶油，为尽可能节约经费，我们希望蛋糕外表面（最下一层的下底面除外）的面积Q最小。

令Q= Sπ

请编程对给出的N和M，找出蛋糕的制作方案（适当的Ri和Hi的值），使S最小。

（除Q外，以上所有数据皆为正整数）

【样例输入】

100

2

【样例输出】

68

【解题思路】

本题为NOI1999的题目，题目的意思是让我们去搜索合适的r和h，使得s最小。我们把某一步的状态设为（i,ri,hi,si,vi)，i表示从下往上数做到了第几层蛋糕，ri表示当前最上层蛋糕的半径，hi表示当前最上层蛋糕的高度，si表示当前蛋糕的表面积，vi表示做了当前蛋糕现在剩下的体积。

于是乎，由题意可知，从(i,ri,hi,si,vi)到(i+1,r(i+1),h(i+1)s(i+1),v(i+1))满足以下条件： r(i+1)<ri;h(i+1)<hi;v(i+1）=vi-r(i+1)*r(i+1)*h(i+1);s(i+1)=si+2*r(i+1)*h(i+1);

直接就这么搜索显然是不现实的，我们需要剪枝，那么，我们可以从下面几个方面想：

1：当前表面积+剩余的侧面积>当前最优值，那么我们就可以剪枝了，关键在于剩余的侧面积该怎么算。这里有一个公式，是由2*vi推出来的，余下的侧面积>=2*vi/r(i+1)，因此，如果2*vi/r(i+1)+si大于当前最优值，那么我们就剪枝。这个叫做最优化剪枝。

2：若剩余的体积比做最小的蛋糕的体积还要小，就可以剪枝了，而做最小的蛋糕的体积可以用倒推法，做第m层半径为1，高也为1，那么体积为1，做第m-1层半径为2，高也为2，那么体积为8……做第i+1层就半径为m-i，高也为m-i，那么体积为（m-i）^3，因此，从1循环到m-i把体积相加，再与现在的体积比较就行了。

3：若剩余的体积比做最大的蛋糕的体积还要大，那也可以剪枝了，方法与2相同。2与3叫做可行性剪枝。

然而，这道题却是在逗我们……

你做着做着会发现，剪来剪去反而一个不好就把最佳答案给剪掉了，程序也长，最终迎来的还是红色的WA，可是，数据告诉我们，只要确定好s、h可能的值，那么只要用到最优化剪枝，便可以AC了……（经本人亲身实验，搞了一上午的剪枝，每一次都把方案给剪了，最终改了一下循环的初值和终值，去掉可行性剪枝都能轻松AC……加上可行性剪枝因为多了判断的时间反而耗时多了一点点……）这里我将两种程序都贴出来，希望哪位大神看到了能够告诉我我哪里剪错了……不胜感激。

【代码实现】

 uses math;
 var r,h,s,v,ans,n,m,i:longint;
 procedure search(i,r,h,s,v:longint);
 var a,b,c,d:longint;
 begin
  if i=m then
   begin
    if v= then
     if s<ans then
      ans:=s;
    exit;
   end;
  if s+*v div r>ans then
   exit;//最优化剪枝
  for a:=r- downto m-i do//注意循环变量，自己去算一算，是可以到m-i的，而不是到i
   for b:=min(v div (a*a),h-) downto m-i do
    begin
     c:=s+*a*b;
     d:=v-a*a*b;
     search(i+,a,b,c,d);
    end;
 end;
 begin
  readln(n);
  readln(m);
  s:=;
  ans:=maxlongint;
  for r:=m to trunc(sqrt(n)) do
   for h:=n div (r*r) downto m do
    begin
     s:=*r*h+r*r;
     v:=n-r*r*h;
     search(,r,h,s,v);
    end;
  if ans=maxlongint then
   ans:=;
  writeln(ans);
 end.

 uses math;
 var r,h,s,v,ans,n,m:longint;
 procedure search(i,r,h,s,v:longint);
 var a,b,c,d,mini,k:longint;
 begin
  mini:=;
  if s+((*v) div r)>ans then
   exit;//剪枝1
  for k:= to m-i do
   mini:=mini+k*k*k;
  if v<mini then
   exit;//剪枝2
  mini:=;
  for k:=i+ to m do
   mini:=mini+sqr(r-k+i)*(h-k+i);
  if v>mini then
   exit;//剪枝3
  if (i=m)and(v=) then
   if s<ans then
    begin
     ans:=s;
     exit;
    end;
  for a:=r- downto i do
   for b:=min(v div (a*a),h-) downto i do
    begin
     c:=s+*a*b;
     d:=v-a*a*b;
     search(i+,a,b,c,d);
    end;
 end;
 begin
  readln(n);
  readln(m);
  ans:=maxlongint;
  for r:=m to trunc(sqrt(n)) do
   for h:=n div (r*r) downto m do
    begin
     s:=*r*h+r*r;
     v:=n-r*r*h;
     search(,r,h,s,v);
    end;
  if ans=maxlongint then
   ans:=;
  writeln(ans);
 end.