题意:

输入一棵树,判断这棵树在以节点1为根节点时,是否是一棵特殊的树。

相关定义:

1.  定义f[A, i]为树A上节点i到节点1的距离,父节点与子节点之间的距离为1。

2.  对于树A与树B,如果A与B的节点数相同,且无论i为何值,f[A, i]与f[B, i]都相等,则A与B为两棵相似的树。

3.  对于一棵树A,在以节点1为根节点的情况下,如果不存在与其它树与A相似,则A是一棵特殊的树。

输入:

包含多组输入样例。

每组输入样例中首先输入一个整数n,表示一棵含有n个节点的树。

接下来n-1行,每行两个整数a, b表示a与b相连。

输出:

如果这棵树是特殊的树,输出YES,否则输出NO。每组样例占1行。

题解:

如果某个节点x的父节点fx到根节点fg的距离dis[fx]与另一个节点fy的dis[fy]相等,且fx != fy, 那么x在fy上的树与x在fx上的树是相似的。

  首先,我们可以证明,如果树A是一条以节点1为根的单链,那么这棵树是特殊的。

  其次,我们可以证明,如果树A以节点1为根时,除了叶节点的父节点出度为x(x>1)外,其它非子节点的出度都为1。那么这棵树也是特殊的。(当然上一个证明包含在这个证明中)。

  除此之外的所有情况,都是非特殊的。

因此,我们可以先计算出所有节点到根节点(节点1)的距离,然后分析得x2,x3,…xi,…,xn,xi即,到节点1的距离为i的点的数量。根据上面的结论,如果x2到xi的值为1,xi+1的值为m(1<=m<=n-1)则,这棵树是特殊的,否则不是。

计算树上任一点到节点1的距离,可以用dfs很方便得计算出来,但是在比赛的时候,我脑子抽了,居然用了最短路算法……当然,用最短路确实也能解。

其次,在统计结果的时候,我用的方法是将dis[],即节点到根节点的距离按从小到大排序,然后从前往后数,当dis[i] == dis[i+1] && dis[i+1] < dis[i+2]时,则不是特殊树。

看了别人的方法,是统计每种距离的数量的。

但是,我想说的一点是,我在用sort排序时,写的sort(dis+1, dis+n+1, cmp),其中的cmp(int x, int y)中由于直接写了个return x <= y; 所以爆re爆得欲仙欲死,显示非法访问内存了。然后将<=改成<,就过了……

用最短路算法时,3次Dijkstra,tle 1次,900+ms 2次。2次Spfa,都是700ms+。

用dfs,2次是排序的方法,分别是46ms,62ms,1次统计各距离,15ms……看来还是别人家的方法好T_T。

 #include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int NN = ;
const int N = ; int mp[NN][NN];
int dis[NN];
bool vis[NN];
int n; bool cmp(int x, int y)
{
return x <= y; //就死在这个<=上了 = =
} void dij()
{
memset(vis, , sizeof(vis));
dis[] = ;
for(int i = ; i <= n; i++) dis[i] = mp[][i];
vis[] = ;
for(int i = ; i < n; i++)
{
int minn = N, k;
for(int j = ; j <= n; j++)
{
if(!vis[j] && minn > dis[j])
{
minn = dis[j];
k = j;
}
}
if(minn == N) break; vis[k] = ;
for(int j = ; j <= n; j++)
{
if(!vis[j] && dis[j] > dis[k]+mp[j][k]) dis[j] = dis[k]+mp[j][k];
}
}
} int main()
{
//freopen("test.in", "r", stdin);
while(~scanf("%d", &n))
{
for(int i = ; i <= n; i++)
{
for(int j = ; j < i; j++) mp[i][j] = mp[j][i] = N;
mp[i][i] = ;
} for(int i = ; i < n; i++)
{
int a, b;
scanf("%d%d", &a, &b);
mp[a][b] = mp[b][a] = ;
}
dij();
sort(dis+, dis+n+, cmp);
bool flag = ; for(int i = ; i <= n-; i++)
{
if(dis[i] == dis[i+] && dis[i+] < dis[i+]) {flag = ; break;}
}
if(flag) printf("NO\n");
else printf("YES\n");
}
return ;
}

RE code

 #include <cstdio>
#include <cstring>
#include <queue>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int NN = ;
const int N = ; int mp[NN][NN];
int dis[NN];
bool vis[NN];
int n; bool cmp(int x, int y)
{
return x < y; //...............
} void dij()
{
dis[] = ;
for(int i = ; i <= n; i++) dis[i] = mp[][i];
vis[] = ;
for(int i = ; i < n; i++)
{
int minn = N, k;
for(int j = ; j <= n; j++)
{
if(!vis[j] && minn > dis[j])
{
minn = dis[j];
k = j;
}
}
if(minn == N) break;
vis[k] = ;
for(int j = ; j <= n; j++)
{
if(!vis[j] && dis[j] > dis[k]+mp[j][k]) dis[j] = dis[k]+mp[j][k];
}
}
} void Spfa()
{
dis[] = ;
for(int i = ; i <= n; i++) dis[i] = N;
vis[] = ;
queue<int>que;
que.push(); int p;
while(!que.empty())
{
p = que.front();
que.pop();
vis[p] = ;
for(int i = ; i <= n; i++)
{
if(dis[i] > dis[p]+mp[i][p])
{
dis[i] = dis[p]+mp[i][p];
if(vis[i] == )
{
que.push(i);
vis[i] = ;
}
}
}
}
} int main()
{
//freopen("test.in", "r", stdin);
while(~scanf("%d", &n))
{
for(int i = ; i <= n; i++)
{
for(int j = ; j < i; j++) mp[i][j] = mp[j][i] = N;
mp[i][i] = ;
vis[i] = ;
} for(int i = ; i < n; i++)
{
int a, b;
scanf("%d%d", &a, &b);
mp[a][b] = mp[b][a] = ;
}
//Spfa();
dij();
sort(dis, dis+n+, cmp);
bool flag = ; for(int i = ; i <= n-; i++)
{
if(dis[i] == dis[i+] && dis[i+] < dis[i+]) {flag = ; break;}
}
if(flag) printf("NO\n");
else printf("YES\n");
}
return ;
}

AC dij+spfa

 #include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std; const int N = ; struct Edge
{
int to, next;
}edge[N]; int dis[N], head[N];
bool vis[N];
int n; bool cmp(int x, int y)
{
return x < y;
} void add(int a, int b, int k)
{
edge[k].to = b;
edge[k].next = head[a];
head[a] = k;
} void init()
{
memset(edge, -, sizeof(edge));
memset(head, -, sizeof(head));
memset(dis, -, sizeof(dis));
for(int i = ; i < n; i++)
{
int a, b;
scanf("%d%d", &a, &b);
add(a, b, i);
}
} void dfs(int x, int k)
{
for(int i = head[x]; i != -; i = edge[i].next)
{
int v = edge[i].to;
if(!vis[v])
{
vis[v] = ;
dis[v] = k;
dfs(v, k+);
vis[v] = ;
}
}
} void outit()
{
/*
sort(dis, dis+n+1, cmp);
bool flag = 0;
for(int i = 2; i <= n-2; i++)
{
if(dis[i] == dis[i+1] && dis[i+1] < dis[i+2]) {flag = 1; break;}
}
if(flag) printf("NO\n");
else printf("YES\n");
*/
int sum[N];
memset(sum, , sizeof(sum));
for(int i = ; i <= n; i++) sum[dis[i]]++;
int ans = ;
for(int i = ; i <= n; i++)
{
if(sum[i] == ) ans++;
else
{
if(sum[i+] == ) ans = n;
break;
}
}
if(ans == n) printf("YES\n");
else printf("NO\n");
} int main()
{
//freopen("test.in", "r", stdin);
while(~scanf("%d", &n))
{
init();
dfs(, );
outit();
}
return ;
}

AC dfs

革命尚未成功,同志仍需努力

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