[HNOI2012]集合选数

题目描述

《集合论与图论》这门课程有一道作业题，要求同学们求出{1, 2, 3, 4, 5}的所有满足以 下条件的子集：若 x 在该子集中，则 2x 和 3x 不能在该子集中。

同学们不喜欢这种具有枚举性 质的题目，于是把它变成了以下问题：对于任意一个正整数 n<=100000，如何求出{1, 2,..., n} 的满足上述约束条件的子集的个数（只需输出对 1,000,000,001 取模的结果），现在这个问题就 交给你了。

输入输出格式

输入格式：

只有一行，其中有一个正整数 n，30%的数据满足 n<=20。

输出格式：

仅包含一个正整数，表示{1, 2,..., n}有多少个满足上述约束条件 的子集。

输入输出样例

输入样例#1：
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4

输出样例#1： 复制

8

【样例解释】

有8 个集合满足要求，分别是空集，{1}，{1，4}，{2}，{2，3}，{3}，{3，4}，{4}。对于一个数，我们可以把它分解成$k*2^{i}*3^{j}$

每个k(不含2，3的因数)可以单独考虑，答案是所有k方案的积

即考虑$k*2^i*3^j<=n$的方案

构造一个矩阵：

 k   3k  9k  27k

2k  6k  18k  54k

4k 12k  36k 108k

令f[i][S]表示当前选到2^i，行状态为S

S第j位为1表示选了2^i*3^j

首先根据题意，S相邻2位不能为1

然后转移时前面的状态S'

要满足与S&S'=0

 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<cmath>
 #include<algorithm>
 using namespace std;
 int n,Log2[],Log3[],pw2[],pw3[];
 int ans,Mod=1e9+,f[][],s[],cnt,p,q,sum;
 int main()
 {int i,j,k,l;
   cin>>n;
   Log2[]=;
   for (i=;i<=n;i++)
     Log2[i]=Log2[i/]+;
   Log3[]=;
   for (i=;i<=n;i++)
     Log3[i]=Log3[i/]+;
   pw2[]=;
   for (i=;i<=;i++)
     pw2[i]=pw2[i-]*;
   pw3[]=;
   for (i=;i<=;i++)
     pw3[i]=pw3[i-]*;
   for (i=;i<pw2[];i++)
     {
       s[i]=;
       for (j=;j<=;j++)
     if ((i&pw2[j])&&(i&pw2[j+])) s[i]=;
     }
   ans=;
   for (i=;i<=n;i++)
     if (i%&&i%)
     {
       k=;
       q=Log3[n/i]+;
       for (j=;j<pw2[q];j++)
     f[][j]=s[j];
       while (i*pw2[k]<=n)
     {
       p=Log3[n/(i*pw2[k])]+;
       for (j=;j<pw2[p];j++)
         if (s[j])
         {
           f[k][j]=;
           for (l=;l<pw2[q];l++)
         if (s[l]&&((j&l)==))
           {
             f[k][j]=(f[k][j]+f[k-][l])%Mod;
           }
         }
         else f[k][j]=;
       q=p;
       k++;
     }
       sum=;
       for (j=;j<pw2[q];j++)
     sum=(sum+f[k-][j])%Mod;
       ans=(1ll*ans*sum)%Mod;
     }
   cout<<ans;
 }