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小Q是个程序员。
作为一个年轻的程序员,小Q总是被老C欺负,老C经常把一些麻烦的任务交给小Q来处理。每当小Q不知道如何解决时,就只好向你求助。为了完成任务,小Q需要列一个表格,表格有无穷多行,无穷多列,行和列都从1开始标号。为了完成任务,表格里面每个格子都填了一个整数,为了方便描述,小Q把第a行第b列的整数记为f(a,b),为了完成任务,这个表格要满足一些条件:(1)对任意的正整数a,b,都要满足f(a,b)=f(b,a);(2)对任意的正整数a,b,都要满足b×f(a,a+b)=(a+b)*f(a,b)。为了完成任务,一开始表格里面的数很有规律第a行第b列的数恰好等于a*b,显然一开始是满足上述两个条件的。为了完成任务,小Q需要不断的修改表格里面的数,每当修改了一个格子的数之后,为了让表格继续满足上述两个条件,小Q还需要把这次修改能够波及到的全部格子里都改为恰当的数。由于某种神奇的力量驱使,已经确保了每一轮修改之后所有格子里的数仍然都是整数。为了完成任务,小Q还需要随时获取前k行前k列这个有限区域内所有数的和是多少,答案可能比较大,只需要算出答案mod1,000,000,007之后的结果。
每次修改操作把(a,b)改成x并且求前k行k列的和
操作数量m<=10000  n,k,a,b<=4*10^6  x<=10^18
 
首先从条件入手,发现很像辗转相除法。仔细观察发现,f(a,b)总是和f(g,g)( g=gcd(a,b) )有关系。更详细地,g(a,b)=f(g,g)*a/g*b/g
所以只需要几下主对角线的数字即可,考虑计算答案。以下的n表示询问的k,且num(x)表示f(x,x)
枚举gcd是啥
$$Ans=\sum_{g=1}^{n}num(g)*\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{g}\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor\frac{n}{g}\rfloor}ijg^{2}*[gcd(i,j)==1]$$
当然,把后面那一坨提出来比较舒服,发现可以用phi来化简
$$G(n)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}i*j*[gcd(i,j)==1]$$
因为$$\sum_{i=1}^{n}i*[gcd(i,n)==1]=\frac{n*\varphi(n)}{2}$$
所以$$G(n)=\sum_{i=1}^{n}i^{2}\varphi(i)$$
显然可以打表
然后这时候
$$Ans=\sum_{g=1}^{n}num(g)*G(\lfloor\frac{n}{g}\rfloor)$$
$\lfloor\frac{n}{g}\rfloor$只有根号种取值,所以只需要维护前面那东西的前缀和就行了
但是每次查询必须是O(1)的,很自然想到分块维护前缀和,修改的时候直接修改gcd即可。这样就做完啦。
复杂度是$O(m\sqrt{n})$
 
强行写了一个llread返回个int查了好久错...心塞
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#define ll long long
#define MN 4000000
#define MB 2000
#define mod 1000000007
using namespace std;
inline int read()
{
int x = ; char ch = getchar();
while(ch < '' || ch > '')ch = getchar();
while(ch >= '' && ch <= ''){x = x * + ch - '';ch = getchar();}
return x;
}
inline ll llread()
{
ll x = ; char ch = getchar();
while(ch < '' || ch > '') ch = getchar();
while(ch >= '' && ch <= ''){x = x * + ch - '';ch = getchar();}
return x;
}
int n,m,phi[MN+],s[MN],cnt=,la,block,add[MB+];
int num[MN+];
bool b[MN+]; inline int gcd(int x,int y) {return !y?x:gcd(y,x%y);} void Modify(int x,int ad)
{
int bl=(x-)/block+,M=min(n,bl*block);
for(int j=bl+;j<=la;++j) (add[j]+=ad)%=mod;
for(int j=x;j<=M;++j) (num[j]+=ad)%=mod;
} int Query(int x)
{
if(!x) return ;
int bl=(x-)/block+;
return (num[x]+add[bl])%mod;
} int main()
{
m=read();n=read();num[]=phi[]=;block=sqrt(n);la=(n-)/block+;
for(int i=;i<=n;++i)
{
if(!b[i]) phi[s[++cnt]=i]=i-;
for(int j=;s[j]*i<=n;++j)
{
b[s[j]*i]=;
if(i%s[j]==){ phi[s[j]*i]=phi[i]*s[j];break;}
phi[s[j]*i]=phi[i]*(s[j]-);
}
phi[i]=(phi[i-]+1LL*i*i%mod*phi[i])%mod;
num[i]=(num[i-]+1LL*i*i)%mod;
}
for(int i=;i<=m;++i)
{
int x=read(),y=read();ll X=llread();int k=read();
int g=gcd(x,y),ans=;X/=1LL*(x/g)*(y/g);X%=mod;
Modify(g,((X-Query(g)+mod)%mod+Query(g-))%mod);
for(int j=,last;j<=k;j=last+)
{
last=k/(k/j);
ans=(ans+1LL*(Query(last)-Query(j-)+mod)%mod*phi[k/j])%mod;
}
printf("%d\n",ans);
}
return ;
}

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