[BZOJ4815][CQOI2017]小Q的表格 数论+分块

题目链接：http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4815

题目中所给条件中的$(a,a+b)$和$(a,b)$的关系很瞩目。

然后大家都知道$(a,b)=(a,a-b)=(a,a+b)$，于是观察（猜）一下这个表格与gcd的关系。

可以发现每次修改$(a,b)$会影响到所有$(i,j)=(a,b)$的点，并且关系为$$f(i,j)=\frac{i}{a}*\frac{j}{b}*f(a,b)$$

所以只需要知道$f(d,d)$的值记为$f(d)$，就能推出其他的值。

然后慢慢推推推大概可以推到这一步$$ans=\sum_{d=1}^nf(d)\sum_{i=1}^{\frac{n}{d}}\sum_{j=1}^{\frac{n}{d}}(i,j)[(i,j)==1]$$

可以发现这个式子中$i$和$j$是对称的$$S(\frac{n}{d})=\sum_{i=1}^{\frac{n}{d}}\sum_{j=1}^{\frac{n}{d}}(i,j)[(i,j)==1]$$

不妨先设$i>j$，于是我们有$$S′(n)=\sum_{i=1}^n\frac{φ(i)*i^{2}}{2}$$

由于$i$与$j$对称，所以有$$S(n)=2*S′(n)=\sum_{i=1}^nφ(i)*i^{2}$$

所以最终的答案就变成了$$ans=\sum_{d=1}^nf(d)S(\frac{n}{d})$$

我们记录$f$的前缀和，并且分块维护这个数列，而$S$很明显是可以预处理出来的。

询问了$m$次，于是总体复杂度应该是$O(m\sqrt{n})$

 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<algorithm>
 #include<cmath>
 using namespace std;
 typedef long long ll;
 const int mod=1e9+;
 int inline readint(){
     int Num;char ch;
     while((ch=getchar())<''||ch>'');Num=ch-'';
     while((ch=getchar())>=''&&ch<='') Num=Num*+ch-'';
     return Num;
 }
 ll inline readll(){
     ll Num;char ch;
     while((ch=getchar())<''||ch>'');Num=ch-'';
     while((ch=getchar())>=''&&ch<='') Num=Num*+ch-'';
     return Num;
 }
 void outint(int x){
     if(x>=) outint(x/);
     putchar(x%+'');
 }
 int inline gcd(int x,int y){
     return !y?x:gcd(y,x%y);
 }
 int n,m;
 int phi[],p[],cnt=;
 int la,blk,add[];
 int f[];
 bool vis[];
 void sieve(int n){
     for(int i=;i<=n;i++){
         if(!vis[i]){
             p[++cnt]=i;
             phi[i]=i-;
         }
         for(int j=;p[j]*i<=n;j++){
             vis[p[j]*i]=true;
             if(i%p[j]==){
                 phi[p[j]*i]=phi[i]*p[j];
                 break;
             }
             phi[p[j]*i]=phi[i]*(p[j]-);
         }
         phi[i]=(1LL*i*i%mod*phi[i]+phi[i-])%mod;
         f[i]=(1LL*i*i+f[i-])%mod;
     }
 }
 void modify(int x,int ad){
     int l=(x-)/blk+,
         r=min(n,l*blk);
     for(int i=l+;i<=la;i++) add[i]=(add[i]+ad)%mod;
     for(int i=x;i<=r;i++) f[i]=(f[i]+ad)%mod;
 }
 int inline qry(int x){
     return x?(f[x]+add[(x-)/blk+])%mod:;
 }
 int main(){
     m=readint();
     n=readint();
     f[]=phi[]=;
     blk=(int)sqrt(n);
     la=(n-)/blk+;
     sieve(n);
     for(int i=;i<=m;i++){
         int a=readint(),
             b=readint(),
             g=gcd(a,b),
             ans=;
         ll x=readll();
         int k=readint();
         x=x/(1LL*(a/g)*(b/g))%mod;
         modify(g,((x-qry(g)+qry(g-))%mod+mod)%mod);
         for(int j=,now;j<=k;j=now+){
             now=k/(k/j);
             ans=(ans+1LL*(qry(now)-qry(j-)+mod)%mod*phi[k/j])%mod;
         }
         outint(ans);
         putchar('\n');
     }
     return ;
 }