省常中模拟 Test2 Day2

two

模拟

大意：给你一个 N 位二进制数，有四种操作：加1、减1、乘2、整除2。给定一个操作序列，求最终结果。N <= 5*10^6。数据保证不会在最高位上进行进位或退位操作。

初步解法：由于题目中的特殊限制（操作不影响最高位），我们可以直接用一个 char 数组和一个尾指针来进行操作。「加1」操作即从最后一位往前找连续的 1 并将其改成 0，然后将遇到的第一个 0 改成 1，并结束循环。「减1」操作类似，找连续的 0 并将其改成 1，将遇到的第一个 1 改成 0。「乘2」操作即在末尾添加一个 0，「除2」操作即删去末尾一位。有两个很明显的优化：如果「加1」操作后面紧跟「减1」操作就直接跳过这两个操作；「乘2」与「除2」相连时同理。要注意的是如果「除2」后面跟的是「乘2」，那么得到的结果不一定等于原数（想一想，为什么？）。

这样的算法最坏情况下时间复杂度为 O(N^2)，最多拿 60 分。不过由于最近 RP 爆发，用这种方法还是轻松 AC 了。

正解：将加减操作不断累加到一个计数器中。若遇到乘则原数与累加器都乘以2，若遇到除则清空累加器，将其向前进位。

还有一种更好玩的算法是，将连续的 0 和 1 缩在一起，如 100011001 可以表示为 (1, 1), (0, 3), (1, 2), (0, 2), (1, 1)，那么对应的操作就会变得非常简单，不再赘述。

 

chess

哈希表

大意：在棋盘上放置若干个皇后，要求输出最终棋盘上不会被攻击到的格子数。

正解：我们知道，每次在棋盘上放置一个皇后都（可能）会使安全格子数减少，所以我们只需不断减去被攻击的格子数即可。

如何计算被攻击的格子数？为了方便我们先不考虑对角线。每次放入一个皇后，如果该行已经被其他皇后控制（用一个哈希表判断），那么不需要处理，否则就改变哈希表中的值并累加 cnt_of_row （被控制的行数）；对于列就可以用另一个哈希表作类似处理。处理完所有皇后我们就能知道有哪些行、哪些列已经被控制，那么被控制的总格子数为 cnt_of_row * num_of_col + cnt_of_col*num_of_row – num_of_row*num_of_col（一个简单的容斥原理：被控制的行数乘以每行的格子数加上被控制的列数乘以每列的格子数减去被重复计算的格子数）。

然后考虑对角线上的控制。对角线有两种方向（主对角线与次对角线），可以设两个哈希数组。对于每个皇后所在的两条对角线，我们可以计算出其对角线覆盖的范围，对于其覆盖范围的每个点，判断其行与列是否已经被控制：如果已经被控制，那么不必累加；否则就将被控制格子数加一。

 

sam

递推

详见我的另一篇文章：《用矩阵乘法优化递推》。