省常中模拟 Test1 Day1

临洮巨人

排序

题意：在字符串中找出 A、B、C 三个字母出现次数相同的区间个数。

初步的解法是前缀和，用 a(i), b(i), c(i) 表示在位置 i 之前（包括 i）各有 字母 A、B、C 多少个，枚举区间的左右端点 l 和r，若a(r)-a(l-1) = b(r)-b(l-1) = c(r)-c(l-1)，则是一组解。O(n²) 的复杂度可以过 70%。

正解：将上式变形可得，

a(r)-b(r)=a(l-1)-b(l-1)

b(r)-c(r)=b(l-1)-c(l-1)

所以我们可以将 a(i)-b(i) 和 b(i)-c(i) 保存下来并进行双关键字排序。如果 a(i)-b(i)=a(j)-b(j)，b(i)-c(i)=b(j)-c(j)，那么在最终的有序序列中 i 和 j 对应的结点必然在同一片区域内，区域内的每个结点的 a-b 和 b-c 各相等。所以只要用线性时间统计出连续区域的大小，最终结果为 sum{ n*(n-1)/2, n 为各区域的长度 }。

有一个注意点是，a(i)-a(j) 表示的含义是区间 (i, j] 或 [i+1, j]，那么 a(i)-a(1) 表示的是 (1, i]（即 [2, i]），无法表示 [1, i]。而当 a(i)=b(i)=c(i) 时，就可能会漏解，因为此时区间 [1, i] 必为一解。所以在待排序的序列中加上 (0, 0) 即可（事实上 (0, 0) 就是 a(0)-b(0), b(0)-c(0)，a(i)-a(0) 就可以表示区间 [1, i]）。

 

青蛙神

状态压缩动规

题意：在 DAG 上找到路径乘积为完全平方数的路径条数。

初步的解法是暴搜，只能过 30%。

正解：由完全平方数的性质可以得出完全平方数的各个质因子的次数必然是偶数，而 N 最大为90，所以走完一条路径所得到的完全平方数的质因子不可能包含 47 及以上的素数（如果包含 47，那么至少有两个，而以 47 为因子的小于 90 的数中只有一个 47，所以不可能出现两次 47）。在 1 ~ 45 中，一共有 14 个质数，所以可以用一个二进制位来表示某个质因子出现了奇数次还是偶数次，所有二进制位组成状态，对于每个结点预处理出其默认状态，记为 st(i)，用 f(i, j) 表示当 i 结点处于状态 j 时以 i 为终点的路径数（这里的状态 j 是由某个结点出发到 i 结点结束的状态之和，可以由异或操作得到），则

f(i, j) = sum{ f(k, j^st(i)), <k, i>∈E }

初始条件：f(i, st(i)) = 1

这里的 f(i, st(i)) = 1 并不意味着从 i 到 i 本身就是一解，而是说 f(i, st(i)) 是一种实际上可能达到的状态，因为在所有的 f(i, j) 中，许多状态是无法达到的。

最终结果是 ans = sum{ f(i, 0), i∈V }

（当某个结点状态为 0 时说明所有质因子个数都为偶数，是一个完全平方数）

 

败屩妖

二分答案+并查集

题意：给出一个图和几个点对，要求删去权值小于等于 D 的边使得给出的点对均不连通，求 D 的最小值。

解法：很明显 D 是最终结果中最大的边权，题目要求最大值的最小值，一般这类题目都可以考虑用二分答案的方法去做。二分枚举 D 的取值，删去图中小于等于 D 的边，用并查集合并互相连通的点，最后用并查集判断两个点是否连通。但是我一开始是用 DFS 遍历进行合并，所以后面的点都超时了，实际上枚举边集数组中每一条边进行合并即可。