【CF724F】Uniformly Branched Trees 动态规划

【CF724F】Uniformly Branched Trees

题意：询问n个点的每个非叶子点度数恰好等于d的不同构的无根树的数目。

$n\le 1000,d\le 10$。

题解：先考虑有根树的版本。我们用$DP(n,m,k)$表示n个点，其中根的度数为m，其余点度数为d，根的最大的儿子的子树不能超过k的方案数。转移时我们可以枚举有多少个子树大小为k的。假如有i个，则贡献为：$DP(n-ik,m-i,k-1)\times{{DP(k,d-1,k-1)+i-1} \choose{i}}$，采用记忆化搜索是一个非常优秀的方法。

如果是无根树呢？如果有一个点为重心，则我们令重心为根即可。如果有两个重心，我们枚举其中一个，用组合数算一算即可。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
int n,m;
ll P;
ll ine[1010];
int f[1010][11][1010];
ll DP(int n,int d,int k)
{
	k=min(k,n-1);
	if(f[n][d][k]!=-1)	return f[n][d][k];
	if((n==1&&d==m-1)||(n==1&&!d))	return 1;
	if(n==1||!k)	return 0;
	int j;
	ll ret=DP(n,d,k-1),t=DP(k,m-1,k),tmp=1;
	for(j=1;j*k<n&&j<=d;j++)
	{
		tmp=tmp*(t+j-1)%P*ine[j]%P;
		ret=(ret+tmp*DP(n-k*j,d-j,k-1))%P;
	}
	return f[n][d][k]=ret;
}
int main()
{
	scanf("%d%d%lld",&n,&m,&P);
	if(n==1||n==2)
	{
		puts("1");
		return 0;
	}
	if((n-2)%(m-1)!=0)
	{
		puts("0");
		return 0;
	}
	int i;
	ine[0]=ine[1]=1;
	for(i=2;i<=n;i++)	ine[i]=P-(P/i)*ine[P%i]%P;
	memset(f,-1,sizeof(f));
	ll ans=DP(n,m,(n-1)/2);
	if(!(n&1))
	{
		ll t=DP(n/2,m-1,n/2-1);
		ans=(ans+t*(t+1)/2)%P;
	}
	printf("%lld",ans);
	return 0;
}