NTT - 牛客

链接：https://www.nowcoder.com/acm/contest/133/D
来源：牛客网

题目描述

Applese打开了m个QQ群，向群友们发出了组队的邀请。作为网红选手，Applese得到了n位选手的反馈，每位选手只会在一个群给Applese反馈
现在，Applese要挑选其中的k名选手组队比赛，为了维持和各个群的良好关系，每个群中都应有至少一名选手成为Applese的队友（数据保证每个群都有选手给Applese反馈）
Applese想知道，他有多少种挑选队友的方案

输入描述:

输入包括两行
第一行包括三个数n, m, k，表示共有n位选手，m个群，需要有k名选手被选择

第二行包括m个数，第i个数表示第i个群有s_i个选手

n ≤ 100000, m ≤ k ≤ n

输出描述:

输出包括一行
第一行输出方案数
由于输出可能比较大，你只需要输出在模998244353意义下的答案

示例1

输入

5 3 4
1 2 2

输出

4

思路分析： dp[i][j] 表示前 i 个QQ 群中选了 j 个人的方案数，并且保证每个群中至少选 1 人
　　　　dp[i][j] += dp[i-1][j-h]*C(x, h) , 其实本质意思就是第一个群选 1个， 2个，... n 个所对应的方案 * 第二个群选 1个， 2个， ... n个，这不就是个多项式的乘法吗，又因为其带模数，所以一个NTT,就可以了
代码示例 ：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
const ll maxn = 1e5+5;
const ll mod = 998244353;
ll n, m, k;
vector<ll>ve[maxn];
ll pp[maxn], inv[maxn];

ll qw(ll a, ll b){
	ll res = 1;
	a %= mod;
	while(b){
		if (b&1) res = res*a%mod;
		a = a*a%mod;
		b >>= 1;
	}
	return res;
}

ll C(ll n, ll m){
	ll ans = pp[n]*inv[m]%mod*inv[n-m]%mod;
	return ans;
}

ll rev (ll x, ll len){
	ll ret = 0;
	for(ll i = 0; (1<<i)<len; i++){
		ret <<= 1;
		if ((1<<i)&x) ret |= 1;
	}
	return ret;
}

void NTT(vector<ll>& p, ll len, ll DFT){
	for(ll i = 0; i < len; i++){
		ll x= rev(i, len);
		if (i < x) swap(p[i], p[x]);
	}
	for(ll i = 1; i < len; i <<= 1){
		ll wn = qw(3, (mod-1)/(2*i));
		if (DFT == -1) wn = qw(wn, mod-2);
		for(ll j = 0; j < len; j += i*2){
			ll w = 1;
			for(ll k = 0; k < i; k++){
				ll x = p[j+k];
				ll y = w*p[j+k+i]%mod;
				p[j+k]=(x+y)%mod;
				p[j+k+i]=(x-y+mod)%mod;
				w = w*wn%mod;
			}
		}
	}
	if (DFT == -1)
		for(ll i = 0, x = qw(len, mod-2); i < len; i++)
			p[i]=p[i]*x%mod;
}

void mul(vector<ll>& a, vector<ll> b){
	ll n = a.size(), m = b.size();
	ll len = 1;
	while(len < (n+m)) len <<= 1;
	a.resize(len);
	b.resize(len);
	NTT(a, len, 1);
	NTT(b, len, 1);
	for(ll i = 0; i < len; i++) a[i] = a[i]*b[i]%mod;
	NTT(a, len, -1);
	a.resize(n+m);
}

queue<ll>que;
int main() {
	ll x;
	pp[0] = 1;
	for(ll i = 1; i <= 100000; i++) pp[i]=pp[i-1]*i%mod;
	for(ll i = 0; i <= 100000; i++) inv[i]=qw(pp[i],mod-2);

	cin >> n >> m >> k;
	for(ll i = 1; i <= m; i++){
		scanf("%lld", &x);
		ve[i].resize(x);
		for(ll j = 0; j < x; j++) ve[i][j] = C(x, j+1); // 下标从0开始
		que.push(i);
	}
	while(que.size() > 1){
		ll u = que.front(); que.pop();
		ll v = que.front(); que.pop();
		mul(ve[u], ve[v]);
		que.push(u);
	}
	printf("%lld\n", ve[que.front()][k-m]);
	//for(ll i = 0; i <= ve[que.front()].size(); i++) printf("++%lld %lld \n",i, ve[que.front()][i]);
	return 0;
}