@noi.ac - 506@ 强连通分量

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@solution@
@accepted code@
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有一天你学了一个叫能求出有向图中所有的强连通分量的算法，你决定将这个算法应用到NOI比赛中。

这是一道交互题。交互库有一张有向图，图中有 n 个点和 m 条有向边。为了与交互库交互，你可以进行如下操作：

给定一个点 x 和一些点构成的一个集合 S，交互库将会回答是否存在一条从点 x 到 S 中的任何一个点的有向边。

给定一个点 x 和一些点构成的一个集合 S，交互库将会回答是否存在一条从 S 中的任何一个点到点 x 的有向边。

你希望找出图中所有的强连通分量。两个操作的调用次数的和不能超过25000.

为了证明你的确找出了强连通分量，在所有操作结束之后你需要回答所有强连通分量大小的平方和。

任务描述：

你需要实现以下函数：

findSCC(n, m)

n, m 的意义见题目描述；

你需要返回一个整数 ans，表示所有强连通分量大小的平方和。

你可以调用以下几个函数：

vertexToSet(x, s)

x为点的编号，编号的下标从0开始；

s为一个大小为 n 的数组，描述集合S；

s[i]的值只有可能是0或者1。

如果s[i]的值为0，则说明编号为i的点不在SS中；

如果s[i]的值为1，则说明编号为i的点在SS中。

该函数返回值只有可能是0或者1，如果返回值为1则说明存在一条从点x到S中的任何一个点的有向边，否则不存在。

setToVertex(x, s)

x和s的意义和前一个函数类似，不再赘述。

该函数返回值只有可能是0或者1，如果返回值为1则说明存在一条从SS中的任何一个点到点xx的有向边，否则不存在。一个点的有向边，否则不存在。

为了保证函数能正常返回结果，你的s数组必须至少有n的大小。保证s中下标大于n的元素不会被访问。此外，两个函数都不会对s数组进行修改。

不合法的参数将导致未定义行为，后果自负。

实现细节：

本题只支持 C++。你需要包含头文件scc.h。

你需要实现的函数：

int findSCC(int n, int m);

所有你可以调用的函数的接口信息如下：

int vertexToSet(int x, int s[]);

int setToVertex(int x, int s[]);

评测方式：

评测系统将读入如下格式的输入数据：

第 1 行: n,m

接下来 m 行，每行两个整数xi,yi, 表示存在一条从编号为xi的点到编号为yi的点的有向边。

注意图中可能有重边和自环。

在 findSCC 返回后，评测系统将输出你的答案以及vertexToSet，setToVertex两个操作的调用次数的和。

样例一

input

6 5

0 1

1 2

2 0

3 4

4 5

output

12

explanation

前三个点构成一个强连通分量，剩下三个点单独构成自己的强连通分量，强连通分量大小的平方和为3²⁺¹2+1²⁺¹2=12。

对于所有测试点，1≤n≤1000,1≤m≤100000。

@solution@

操作总次数：25000。n 的上界：1000。

两者相除等于多少？25。可以发现这个数字与 log(n) 是同阶的。

这启发我们或许可以用什么 log 的算法解决问题。

考虑给定一个集合 S 与点 x，并且已知 x 与 S 有边相连。

我们将 S 划分成两个等大的集合 S1 与 S2，判断 S1 与 S2 哪一个集合与 x 有边相连，然后进行分治。

这样分治到最后，我们就得到了一个 x 在 S 中有边相连的点。

即：我们可以在 log 的次数在 S 中找到一个与 x 有边相连的点。

于是我们自然也可以在 n*log 的次数对整个图进行一次遍历。

考虑求解强连通分量的算法：tarjan 与 kosaraju 算法。

因为 tarjan 涉及到要找回边，按照我上述的算法是不能找到这样一条边的，所以考场上我就没写 tarjan。

但实际上根据标算的说法， tarjan 是可行的。此处暂不提。

考虑 kosaraju 的流程：随便选一个点进行 dfs 的遍历，记录每个点出 dfs 的时间戳，按时间戳从大到小在逆图中 dfs。

dfs 可以参照我上述的算法。但是我们无法对原图修改，怎么做到逆图呢？

注意到题目中的询问分为两类，一类是集合到点的连通，一类是点到集合的连通。正着时取点到集合，逆着时取集合到点即可。

@accepted code@

#include "scc.h"

#include<vector>

#include<cstdio>

using namespace std;

const int MAXN = 1000;

int s[MAXN + 5], dfn[MAXN + 5], tmp[MAXN + 5];

int n, dcnt, siz;

int find_edge(int x, vector<int>v, int type) {

	if( v.size() == 1 ) return v[0];

	vector<int>vl, vr;

	int mid = v.size()/2;

	for(int i=0;i<mid;i++)

		vl.push_back(v[i]);

	for(int i=mid;i<v.size();i++)

		vr.push_back(v[i]);

	for(int i=0;i<vl.size();i++)

		tmp[v[i]] = 1;

	bool flag = (type ? setToVertex(x, tmp) : vertexToSet(x, tmp));

	for(int i=0;i<vl.size();i++)

		tmp[v[i]] = 0;

	return flag ? find_edge(x, vl, type) : find_edge(x, vr, type);

}

int find_edge(int x, int type) {

	vector<int>vec;

	for(int i=0;i<n;i++)

		if( s[i] ) vec.push_back(i);

	return find_edge(x, vec, type);

}

void dfs1(int x) {

	s[x] = 0;

	while( vertexToSet(x, s) )

		dfs1(find_edge(x, 0));

	dfn[dcnt++] = x;

}

void dfs2(int x) {

	s[x] = 0, siz++;

	while( setToVertex(x, s) )

		dfs2(find_edge(x, 1));

}

int findSCC(int _n, int m) {

	n = _n;

	for(int i=0;i<n;i++) s[i] = 1, dfn[i] = 0;

	dcnt = 0;

	for(int i=0;i<n;i++)

		if( s[i] == 1 ) dfs1(i);

	for(int i=0;i<n;i++) s[i] = 1;

	int ret = 0;

	for(int i=n-1;i>=0;i--)

		if( s[dfn[i]] == 1 ) siz = 0, dfs2(dfn[i]), ret += siz*siz;

	return ret;

}

@details@

其实难度不大。。。一道签到题？算是吧。（毕竟我都写得起正解）

不过遇到交互题还是一件挺让人兴奋的事的。

上一次做是在冬令营时吧。。。啊啊，时光真快。

好像跑题了。反正这道题几乎就是一个强连通的模板啦。