[JZOJ3424] 【NOIP2013模拟】粉刷匠

题目

题目大意

有\(K\)种颜色的小球，每种颜色的小球有\(c_i\)个。

求相邻颜色不同的排列的方案数。

\(K\leq 15\)且\(c_i\leq 6\)

---

思考历程&正解1

我是一个智障，所以就先想到了一个智障方法。

首先考虑暴力。

暴力的时候记录上一个的颜色和每种颜色剩余的小球数量，转移的时候选择一种与上一个颜色不同的小球，将它的个数减一。

设状态\(f_{S,i}\)表示状态为\(S\)，最后一个小球颜色为\(i\)的方案数。

显然直接这样设状态会爆掉吧……

接着我们发现答案是与小球的顺序无关的，那我们可以考虑将组成一样的压起来。

建立一个桶，桶的下标范围是\([0,6]\)，表示小球的个数。桶中的每个元素表示的是小球的个数为下标的颜色个数。

显然，桶的每个元素加起来等于\(15\)（如果一开始\(K<15\)，就补\(0\)）

可以计算这个桶的方案数：

相当于将\(15\)个球放进\(7\)个箱子里，每个箱子可以为空：\(C_{15+7-1}^{7-1}=54264\)

可以存下。

这个桶可以用个\(7\)位的\(16\)进制数来存，不会超过int。用\(map\)给每个桶分配一个下标。

然后\(i\)的定义也要变一下，表示最后一个小球的颜色的个数。范围在\([0,6]\)，显然不会炸。

由于多组数据，所以考虑反着转移。\(f_{S,i}\)中的\(S\)表示的状态是已经放了的状态（不是剩余的状态）。

转移的时候枚举\(j\)。设桶下标为\(j\)的数是\(k\)，如果\(i=j\)，由于不能重复，所以乘上\(k-1\)。否则直接乘\(k\)。

这些是预处理的部分。对于每个询问，由于它按照一定顺序排列，所以要除以排列数。排列数有个公式：\(\frac{(\sum{c_i})!}{\prod {c_i!}}\)（不会证明……）

---

正解2

DYP的高级解法。

设\(f_{i,j}\)表示做到第\(i\)个颜色，相邻相等的个数为\(j\)。

按照颜色一层一层转移，每次转移的时候插空。

现在由\(f_{i,j}\)往后面的转移，设\(sum=\sum_{1\leq k\leq i}{c_k}\)

枚举插空的位置个数\(x\)和插在相邻相等位置之间的个数\(y\)。

转移：\(f_{i,j}*C_{sum+1-j}^{x-y}*C_j^y\to f_{i+1,j-y+c_{i+1}-x}\)

感觉我的方法简单多了

---

代码（正解1）

using namespace std;
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <map>
#include <cassert>
#define mo 1000000007
inline int my_pow(int x,int y){
	int res=1;
	for (;y;y>>=1,x=1ll*x*x%mo)
		if (y&1)
			res=1ll*res*x%mo;
	return res;
}
int pow16[8],fac[16];
int cnt;
map<int,int> h;
int f[200000][7];
int q[200000];
inline void init(){
	h[15]=++cnt;
	f[cnt][6]=1;
	int head=0,tail=1;
	q[1]=15;
	do{
		int x=q[++head],s=h[x];
		for (int j=0;j<6;++j){
			int k=x/pow16[j]%16;
			if (k){
				int y=x-pow16[j]+pow16[j+1];
				int *p=&h[y];
				if (*p==0){
					*p=++cnt;
					q[++tail]=y;
				}
				for (int i=1;i<=6;++i)
					(f[*p][j+1]+=1ll*f[s][i]*(i!=j?k:k-1)%mo)%=mo;
			}
		}
	}
	while (head!=tail);
}
int main(){
	pow16[0]=1;
	for (int i=1;i<=7;++i)
		pow16[i]=pow16[i-1]*16;
	fac[0]=1;
	for (int i=1;i<=15;++i)
		fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mo;
	init();
	int T;
	scanf("%d",&T);
	while (T--){
		int K;
		scanf("%d",&K);
		int x=15-K;
		for (int i=1;i<=K;++i){
			int c;
			scanf("%d",&c);
			x+=pow16[c];
		}
		int s=h[x];
		long long ans=0;
		for (int i=1;i<=6;++i)
			ans+=f[s][i];
		ans%=mo;
		for (int i=0;i<=6;++i)
			ans=1ll*ans*fac[x/pow16[i]%16]%mo;
		ans=1ll*ans*my_pow(fac[15],mo-2)%mo;
		printf("%lld\n",ans);
	}
	return 0;
}

---

总结

排列组合一类的DP，可以试着一层层插空。