NOIP模拟 17.8.15

NOIP模拟17.8.15

A 债务
文件名 输入文件 输出文件 时间限制 空间限制
debt.pas/c/cpp debt.in debt.out 1s 128MB
【题目描述】
小 G 有一群好朋友，他们经常互相借钱。假如说有三个好朋友 A，B，C。A
欠 B 20 元，B 欠 C 20 元，总债务规模为 20+20=40 元。小 G 是个追求简约的人，
他觉得这样的债务太繁杂了。他认为，上面的债务可以完全等价为 A 欠 C 20 元，
B 既不欠别人，别人也不欠他。这样总债务规模就压缩到了 20 元。
现在给定 n 个人和 m 条债务关系。小 G 想找到一种新的债务方案，使得每个
人欠钱的总数不变，或被欠钱的总数不变（但是对象可以发生变化），并且使得总
债务规模最小。
【输入格式】
输入文件第一行两个数字 n, m，含义如题目所述。
接下来 m 行，每行三个数字 ai, bi, ci，表示 ai 欠 bi 的钱数为 ci。
注意，数据中关于某两个人 A 和 B 的债务信息可能出现多次，将其累加即可。
如”A 欠 B 20 元”、”A 欠 B 30 元”、”B 欠 A 10 元”，其等价为”A 欠 B 40 元”。
【输出格式】
输出文件共一行，输出最小的总债务规模。
【样例输入 1】
5 3
1 2 10
2 3 1
2 4 1
2
【样例输出 1】
10
【样例输入 2】
4 3
1 2 1
2 3 1
3 1 1
【样例输出 2】
0
【数据范围】
对于 30% 的数据，1 ≤ n ≤ 10，1 ≤ m ≤ 10。
对于 60% 的数据，1 ≤ n ≤ 100, 1 ≤ m ≤ 104。
对于 80% 的数据，1 ≤ n ≤ 104，1 ≤ m ≤ 104。
对于 100% 的数据，1 ≤ n ≤ 106，1 ≤ m ≤ 106。
对于所有的数据，保证 1 ≤ ai, bi ≤ n, 0 < ci ≤ 100。

【题解】

水题，无fuck说

 #include <iostream>
 #include <cstdio>
 #include <cstring>
 #include <cstdlib>
 #define jue(a) (((a) >= 0) ? (a) : (-a))

 const int INF = 0x3f3f3f3f;
 const int MAXN =  + ;

 inline void read(int &x)
 {
     x = ;char ch = getchar(), c = ch;
     while(ch < '' || ch > '') c = ch, ch = getchar();
     while(ch <= '' && ch >= '')x = x *  + ch - '', ch = getchar();
     if(c == '-')x = -x;
 }

 int n,m;
 int qian[MAXN], ans;//qian[i]正数表示第i个人被欠多少钱，负数表示欠别人多少钱 

 int main()
 {
     scanf("%d %d", &n, &m);
     register int tmp1, tmp2, tmp3;
     for(register int i = ;i <= m;++ i)
     {
         read(tmp1), read(tmp2), read(tmp3);
         qian[tmp1] -=tmp3;
         qian[tmp2] += tmp3;
     }
     for(register int i = ;i <= n;++ i) ans += jue(qian[i]);
     printf("%d", (ans >> ));
     return ;
 }

T1

B 排列
文件名 输入文件 输出文件 时间限制 空间限制
perm.pas/c/cpp perm.in perm.out 1s 128MB
【题目描述】
小 G 喜欢玩排列。现在他手头有两个 n 的排列。n 的排列是由 0, 1, 2, ..., n − 1
这 n 的数字组成的。对于一个排列 p，Order(p) 表示 p 是字典序第 Order(p) 小的
排列（从 0 开始计数）。对于小于 n! 的非负数 x，P erm(x) 表示字典序第 x 小的
排列。
现在，小 G 想求一下他手头两个排列的和。两个排列 p 和 q 的和为 sum =
P erm((Order(p) + Order(q))%n!)。
【输入格式】
输入文件第一行一个数字 n，含义如题。
接下来两行，每行 n 个用空格隔开的数字，表示小 G 手头的两个排列。
【输出格式】
输出一行 n 个数字，用空格隔开，表示两个排列的和。
【样例输入 1】
2
0 1
1 0
【样例输出 1】
1 0
4
【样例输入 2】
3
1 2 0
2 1 0
【样例输出 2】
1 0 2
【数据范围】
1、2、3、4 测试点，1 ≤ n ≤ 10。
5、6、7 测试点，1 ≤ n ≤ 5000，保证第二个排列的 Order ≤ 105。
8、9、10 测试点，1 ≤ n ≤ 5000。

【题解】

康托展开：

一个序列的排名(从0开始计数) = Rank[n]*(n-1)!+Rank[n-1]*(n-2)!+….
其中Rank[n]表示n位置上的数字在未出现过的数字中的排行，并且从0开始计数。

我们先求出两个序列的康托展开式，相加

但是显然阶乘爆掉

于是我们只加rank数组

如果rank[i]这一位大于等于i，就按i进制进位

证明：

……rank[i] * (i - 1) ! + rank[i + 1] * i !……

若rank[i] > i

那么可分解为

rank[i]%i * (i - 1)! + rank[i]/i * i! + rank[i + 1]*i!

所以进位显然

mod n!的话，只需要忽略rank[i + 1]即可

推式子这一步，我开始想的是类似一遍找一遍插入排序，复杂度n^2

天宇哥哥的做法是  从n往前找，p从-1向上累计，遇到没有用过的p就标记为用过，同时rank[n]--

因为num[i + 1..n]求出后能得知num[i]能选哪一些数   也就是num[1...i]有哪一些数  从小到大枚举到对应排名即可

 #include <cstdio>
 #include <cstdlib>
 #include <cstring>
 #include <cstdlib>

 inline void read(int &x)
 {
     x = ;char ch = getchar(), c = ch;
     while(ch < '' || ch > '')c = ch, ch = getchar();
     while(ch <= '' && ch >= '')x = x *  + ch - '', ch = getchar();
     if(c == '-')x = -x;
 }

 const int INF = 0x3f3f3f3f;
 const int MAXN =  + ;

 int num1[MAXN], num2[MAXN];
 int rank1[MAXN], rank2[MAXN];
 int n, b[MAXN];

 int main()
 {
     read(n);
     for(register int i = n;i >= ;-- i) read(num1[i]);
     for(register int i = n;i >= ;-- i) read(num2[i]);
     register int p;
     for(register int i = ;i <= n;++ i)
     {
         p = ;
         for(register int j = ;j < i;++ j)if(num1[j] < num1[i]) ++ p;
         rank1[i] += p;
         p = ;
         for(register int j = ;j < i;++ j)if(num2[j] < num2[i]) ++ p;
         rank2[i] += p;
         rank1[i] += rank2[i];
         rank1[i + ] += rank1[i]/i;
         rank1[i] %= i;
     }
     rank1[n] %= n;
     for(register int i = n;i >= ;-- i)
     {
         p = -;
         while(rank1[i] >= )
         {
             ++ p;
             if(!b[p])-- rank1[i];
         }
         b[p] = ;
         printf("%d ", p);
     }
     return ;
 }

T2

C 剪树枝
文件名 输入文件 输出文件 时间限制 空间限制
tree.pas/c/cpp tree.in tree.out 1s 128MB
【题目描述】
rzyz 有一棵苹果树。苹果树有 n 个节点（也就是苹果），n − 1 条边（也就是
树枝）。调皮的小 G 爬到苹果树上。他发现这棵苹果树上的苹果有两种：一种是黑
苹果，一种是红苹果。小 G 想要剪掉 k 条树枝，将整棵树分成 k + 1 个部分。他
想要保证每个部分里面有且仅有一个黑苹果。请问他一共有多少种剪树枝的方案？
【输入格式】
第一行一个数字 n，表示苹果树的节点（苹果）个数。
第二行一共 n − 1 个数字 p0, p1, p2, p3, ..., pn−2，pi 表示第 i + 1 个节点和 pi 节
点之间有一条边。注意，点的编号是 0 到 n − 1。
第三行一共 n 个数字 x0, x1, x2, x3, ..., xn−1。如果 xi 是 1，表示 i 号节点是黑
苹果；如果 xi 是 0，表示 i 号节点是红苹果。
【输出格式】
输出一个数字，表示总方案数。答案对 109 + 7 取模。
【样例输入 1】
3
0 0
0 1 1
【样例输出 1】
2
【样例输入 2】
6
0 1 1 0 4
1 1 0 0 1 0
【样例输出 2】
1
【样例输入 3】
10
0 1 2 1 4 4 4 0 8
0 0 0 1 0 1 1 0 0 1
【样例输出 3】
27
【数据范围】
对于 30% 的数据，1 ≤ n ≤ 10。
对于 60% 的数据，1 ≤ n ≤ 100。
对于 80% 的数据，1 ≤ n ≤ 1000。
对于 100% 的数据，1 ≤ n ≤ 105。
对于所有数据点，都有 0 ≤ pi ≤ n − 1，xi = 0 或 xi = 1。
特别地，60% 中、80% 中、100% 中各有一个点，树的形态是一条链。

【题解】

做过的第二道树形DP，第一道A了的树形DP。我对树形DP理解还不够深入，所以下面的题解大家自行斟酌，

抱着江信江疑的态度看

正确性请尤其注意需要剪掉的时候，和每一个dp[i][1]，能否保证性质：每个连通块有且仅有一个黑点

dp[i][0]表示 i节点不能提供给父亲黑节点的方案数

dp[i][1]表示i节点 能提供给父亲黑节点的而方案书

初始：所有叶节点e,若为黑：dp[e][1] = 1,dp[e][0] = 1(可以切断与父节点连边);若为白：dp[e][1] = 0， dp[e][0] = 1

转移：

若i为黑色节点：

dp[i][1] = πdp[son(i)][0]  这个地方保证了每个连通分块最多有一个黑节点

dp[i][0] = dp[i][1] 即i为黑节点不给父亲黑节点的方案只能是减掉，相当于dp[i][1]，保证每个连通分块至少有一个黑节点

上述两条性质，使dp[i][1]的方案保证有且仅有一个黑节点

若i为白色节点：

dp[i][1] = Σ(dp[j][1] * πdp[son(i)][0])  son(i)不含j，j也是i的一个儿子  这个就是一个选黑，另一些选白    保证dp[i][1]的方案有且仅有一个黑节点

dp[i][0] = πdp[son(i)][0] + dp[i][1]  即下面全是白，和能提供黑但减掉与父亲节点的边

答案即为dp[i][1]

正确性我看了很久。。不知道对不对。。还请各位神犇指正

转移有奇淫技巧，见代码及注释

 #include <iostream>
 #include <cstdio>
 #include <cstring>
 #include <cstdlib>
 #define max(a, b) ((a) > (b) ? (a) : (b))

 inline void read(int &x)
 {
     x = ;char ch = getchar();char c = ch;
     while(ch < '' || ch > '')c = ch, ch = getchar();
     while(ch <= '' && ch >= '')x = x *  + ch - '', ch = getchar();
     if(c == '-')x = -x;
 }

 const int INF = 0X3f3f3f3f;
 const int MAXN =  + ;
 const int MOD =  + ;

 struct Edge
 {
     int u,v,next;
     Edge(int _u, int _v, int _next){u = _u;v = _v;next = _next;}
     Edge(){}
 }edge[MAXN << ];

 int head[MAXN], cnt;

 inline void insert(int a, int b)
 {
     edge[++cnt] = Edge(a,b,head[a]);
     head[a] = cnt;
 }

 int n,color[MAXN],dp[][MAXN],b[MAXN],fa[MAXN];

 /*
 若i为黑：
 dp[i][0] = dp[i][1]
 dp[i][1] = πdp[son][0]
 即
 dp[i][0] = πdp[son][0]
 dp[i][1] = dp[i][1]
 若i为白：
 dp[i][0] = πdp[son][0] + dp[i][1]
 dp[i][1] = Σdp[son1][1]* πdp[son(不含son1)][0]

 可以用dp[i][0]记录 πdp[son][0]  最后判颜色+dp[i][1]
 dp[i][1]则记录 Σdp[son1][1]* πdp[son(不含son1)][0]
 递推做到On
 我们用a,b,c,d表示儿子节点，如果只有a,b,c，式子为:
 a1 * b2 * c2 + a2 * b1 * c2 + a2 * b2 * c1
 加入d后：
 (a1 * b2 * c2 + a2 * b1 * c2 + a2 * b2 * c1) *d2 + a2 * b2 * c2 * d1
 其中a2 * b2 * c2可直接用dp[i][0]递推过程值更新 

 */

 void dfs(int u)
 {
     b[u] = ;
     register int size = , sum = , sum2 = , ok = ;
     dp[][u] = ;
     for(register int pos = head[u];pos;pos = edge[pos].next)
     {
         int v = edge[pos].v;
         if(b[v])continue;
         fa[v] = u;
         ++ size;
         ok = ;
         dfs(v);
         dp[][u] = ((long long)dp[][u] * dp[][v]) % MOD;
         dp[][u] += ((long long)dp[][u] * dp[][v]) % MOD;
         if(dp[][u] >= MOD)dp[][u] -= MOD;
         dp[][u] = ((long long)dp[][u] * dp[][v]) % MOD;
     }
     if(ok)
     {
         if(color[u]) dp[][u] = , dp[][u] = ;
         else dp[][u] = , dp[][u] = ;
         return;
     }
     if(color[u]) dp[][u] = dp[][u];
     else
     {
         dp[][u] += dp[][u];
         if(dp[][u] >= MOD)dp[][u] -= MOD;
     }
     return;
 }

 int main()
 {
     read(n);
     register int tmp1;
     for(register int i = ;i < n - ;++ i) read(tmp1), insert(i + , tmp1 + ), insert(tmp1 + , i + );
     for(register int i = ;i < n;++ i) read(color[i + ]);
     dfs();
     printf("%d", dp[][]);
     return ;
 }

T3