[BZOJ3944]Sum(杜教筛)

3944: Sum

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Description

 

Input

一共T+1行

第1行为数据组数T(T<=10)

第2~T+1行每行一个非负整数N，代表一组询问

 

Output

一共T行，每行两个用空格分隔的数ans1,ans2

 

Sample Input

6
1
2
8
13
30
2333

Sample Output

1 1
2 0
22 -2
58 -3
278 -3
1655470 2

HINT

 

Source

 

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最基础的杜教筛。

杜教筛实际上就是这样一个式子：$$F(n)=H(n)-\sum\limits_{i=2}^{n}g(i)F(\lfloor\frac{n}{i}\rfloor)$$

设要求的是$f$的前缀和，辅助函数分别是$g$和$h$，$F$,$G$,$H$分别是三个函数的前缀和，如果能在$O(1)$的时间内求出$G$和$H$，就能在$O(n^{\frac{3}{4}})$内求出$F$。复杂度$O(\sum\limits_{i=1}^{\sqrt{n}} \sqrt{\frac{n}{i}})=O(n^\frac{4}{3})$，通过预处理前$n^{\frac{2}{3}}$个数就可以做到$O(n^{\frac{2}{3}})$了。

对于后面的$F(n)$值数组下标不可能直接记录，但是注意到我们最终需要的$F$函数值最多有$O(n^{\frac{2}{3}})$个（因为$\lfloor \frac{\lfloor\frac{a}{b}\rfloor}{c} \rfloor=\lfloor \frac{a}{bc} \rfloor$），所以对于后面的值可以把$x$存到$n/x$里。

回到这题，不要爆int就好了。

 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<algorithm>
 #define rep(i,l,r) for (int i=l; i<=r; i++)
 typedef long long ll;
 using namespace std;

 const int N=,M=;
 int T,n,m,tot,p[N];
 ll phi[N],mu[N],Phi[M],Mu[M];
 bool vis[M];

 ll getphi(int x){ if (x<=m) return phi[x]; else return Phi[n/x]; }
 ll getmu(int x){ if (x<=m) return mu[x]; else return Mu[n/x]; }

 void solve(int x){
     if (x<=m) return;
     int t=n/x,lst=; ll p1=,p2=;
     if (vis[t]) return;
     vis[t]=; Phi[t]=(1ll*x+)*x>>; Mu[t]=;
     while (lst<x){
         int i=lst+; lst=x/(x/i); solve(x/i);
         p1+=getphi(x/i)*(lst-i+); p2+=getmu(x/i)*(lst-i+);
     }
     Phi[t]-=p1; Mu[t]-=p2;
 }

 int main(){
     freopen("bzoj3944.in","r",stdin);
     freopen("bzoj3944.out","w",stdout);
     scanf("%d",&T); m=; phi[]=mu[]=;
     rep(i,,m){
         if (!phi[i]) p[++tot]=i,phi[i]=i-,mu[i]=-;
         for (int j=; j<=tot && i*p[j]<=m; j++)
             if (i%p[j]==) { phi[i*p[j]]=p[j]*phi[i]; mu[i*p[j]]=; break; }
                         else phi[i*p[j]]=(p[j]-)*phi[i],mu[i*p[j]]=-mu[i];
     }
     rep(i,,m) phi[i]=phi[i-]+phi[i],mu[i]=mu[i-]+mu[i];
     while (T--){
         scanf("%d",&n); memset(vis,,sizeof(vis));
         if (n<=m) printf("%lld %lld\n",phi[n],mu[n]);
             else solve(n),printf("%lld %lld\n",Phi[],Mu[]);
     }
     return ;
 }