[ABC204E] Rush Hour 2 题解

Rush Hour 2

题目大意

给定一张无向图，边带两个参数 \(c_i,d_i\)，在 \(t\) 时间时经过第 \(i\) 条边所需的时间是 \(c_i+\lfloor\frac{d_i}{t+1}\rfloor\)，求在时间 \(0\) 时出发，在每个点可以停留非负整数时间，从点 \(1\) 到点 \(n\) 所需的最短时间。

思路分析

首先，容易发现在时间 \(t\) 时经过第 \(i\) 条边后的总时间是：\(t+c_i+\lfloor\frac{d_i}{t+1}\rfloor\)。

那么不妨设函数 \(f(t)=t+c_i+\lfloor\frac{d_i}{t+1}\rfloor\)，由均值不等式容易得 \(f(t)_{\min}=f(\sqrt{d_i}-1)\)。

也就是说，当我们想经过某一条边时，如果当前时间大于 \(\sqrt {d_i}-1\)，那么不用等待直接通过，否则等到 \(\sqrt{d_i}-1\) 时再通过。

那么就可以使用普通的 Dijkstra 解决了。

代码

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <queue>

using namespace std;
#define int long long
const int N=200100;

int n,m,idx=1,in1,in2,in3,in4;
int to[N],nxt[N],head[N];
int fa[N],vis[N];
int dis[N],c[N],d[N];

int find(int x){return fa[x]==x?x:fa[x]=find(fa[x]);}

void add(int u,int v,int x,int y){
    idx++;to[idx]=v;nxt[idx]=head[u];head[u]=idx;c[idx]=x;d[idx]=y;
}

struct Node{
    int x,time;
    bool operator < (const Node &b) const{
        return time>b.time;
    }
}now;

priority_queue <Node> q;

void Dijkstra(){
    memset(dis,0x3f,sizeof dis);
    dis[1]=0;q.push(Node{1,0});
    while(!q.empty()){
        now=q.top();q.pop();
        if(vis[now.x]) continue;
        vis[now.x]=1;
        for(int i=head[now.x];i;i=nxt[i]){
            int v=to[i],t;
            if(now.time<=round(sqrt(d[i]))-1) t=round(sqrt(d[i]))-1;
            else t=now.time; //判断通过时间
            if(dis[v]>t+c[i]+d[i]/(t+1)){
                dis[v]=t+c[i]+d[i]/(t+1);
                q.push(Node{v,dis[v]});
            }
        }
    }
}

signed main(){
    scanf("%lld%lld",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++) fa[i]=i;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        scanf("%lld%lld%lld%lld",&in1,&in2,&in3,&in4);
        add(in1,in2,in3,in4);add(in2,in1,in3,in4);
        fa[find(in1)]=find(in2);
    }
    if(find(1)!=find(n)){cout<<"-1\n";return 0;}//并查集判连通
    Dijkstra();
    cout<<dis[n]<<'\n';
    return 0;
}