HDU 2045:不容易系列之(3)—— LELE的RPG难题(动态规划)

一、原题链接

Problem - 2045 (hdu.edu.cn)

二、题面

人称“AC女之杀手”的超级偶像LELE最近忽然玩起了深沉，这可急坏了众多“Cole”（LELE的粉丝,即"可乐"）,经过多方打探，某资深Cole终于知道了原因，原来，LELE最近研究起了著名的RPG难题:

有排成一行的ｎ个方格，用红(Red)、粉(Pink)、绿(Green)三色涂每个格子，每格涂一色，要求任何相邻的方格不能同色，且首尾两格也不同色．求全部的满足要求的涂法.

以上就是著名的RPG难题.

如果你是Cole,我想你一定会想尽办法帮助LELE解决这个问题的;如果不是,看在众多漂亮的痛不欲生的Cole女的面子上,你也不会袖手旁观吧?

三、示例

1. 输入

   • 输入数据包含多个测试实例,每个测试实例占一行,由一个整数N组成，(0<n<=50)。
     

   • 1
     2
     

2. 输出

   • 对于每个测试实例，请输出全部的满足要求的涂法，每个实例的输出占一行。
     

   • 3
     6
     

五、思路

1. 动态规划使用条件

   • 无后效性

     • 将集合的表达定义为arr[n]：n个方格的有效排列数

       有后效性：对于一个n格的有效排列，第n格的颜色不单要求与第n-1格不同，还要求与第一格不同

     • 将集合的表达定义为arr[n][i][j]：n个方格且第一个颜色为i最后一个颜色为j，故问题转换为了求n格方格且相邻两个颜色不同的可能数，在输出结果时仅输出两个不同颜色的结果之和

       注：增加维度本质还是分类讨论

   • 最优子结构：由上，显然对于目标问题n个相邻颜色不同的方格排列，有子问题n-1个相邻颜色不同的方格排列必然成立

   • 重复子问题：无

2. 动态规划模型构建

   • 集合表达

     ans[55][3][3]

     • 第一维表示方格数
     • 第二维表示起始颜色
     • 第三维表示结束颜色

   • 递推式：n个方格的排列可由n-1个方格推得

     for(int i=2;i<=50;i++){
         for(int j=0;j<3;j++){
             ans[i][j][j]=ans[i-1][j][(j+1)%3]+ans[i-1][j][(j+2)%3];
             ans[i][j][(j+1)%3]=ans[i-1][j][j]+ans[i-1][j][(j+2)%3];
             ans[i][j][(j+2)%3]=ans[i-1][j][j]+ans[i-1][j][(j+1)%3];
         }
     }
     

   • 初值确定：由递推式可知，只需知道1个方格的排列

     for(int i=0;i<3;i++){
         ans[1][i][i]=1;
     }
     

六、code

#include <bits/stdc++.h>

#define PI 3.1415927

using namespace std;
typedef long long ll;

int main()
{
    ll n,ans[55][3][3];
    memset(ans,0,55*3*3*sizeof(ll));
    //求n个相邻颜色不同的方格排列
    for(int i=0;i<3;i++){
        ans[1][i][i]=1;
    }
    for(int i=2;i<=50;i++){
        for(int j=0;j<3;j++){
           ans[i][j][j]=ans[i-1][j][(j+1)%3]+ans[i-1][j][(j+2)%3];
           ans[i][j][(j+1)%3]=ans[i-1][j][j]+ans[i-1][j][(j+2)%3];
           ans[i][j][(j+2)%3]=ans[i-1][j][j]+ans[i-1][j][(j+1)%3];
        }
    }
    while(cin >> n){
        //求n个相邻颜色不同且收尾颜色不同的方格排列
        ll num=0;
        for(int i=0;i<3;i++){
            if(n==1){
                num+=ans[n][i][i];
            }
            num+=ans[n][i][(i+1)%3];
            num+=ans[n][i][(i+2)%3];
        }
        cout << num << endl;
    }
    return 0;
}