Luogu P4524 Ceste 题解

题目链接：\(\texttt{Luogu P4524 Ceste}\)

简化题意

给定一个有 \(n\) 个点 \(m\) 条边的无向图。每条边的边权为一个二元组 \((a, b)\)，求以 \(1\) 为原点的最短路。

其中 \(a\) 到 \(b\) 的路径权值记为 \(\sum{a} \times \sum{b}\) 。

题目分析

最短路。

考虑单源最短路（这里说的是 dijkstra ）的步骤：找到一个有效的点 \(a\) ，然后对它周围的点进行遍历，如果满足三角不等式 （\(d_a + w_i < d_b\)），那么更新 \(b\) 且入优先队列。

但是对于这道题，我们发现，我们并不知道哪些点会满足三角形不等式。换言之，我们不知道当前这个点是否应该入队。但是我们可以发现下面的性质：

对于点 \(a\)，设可以到达 \(a\) 的路径集合为 \(S\) ，当前有到 \(a\) 的路径长度 \((d_a, d_b)\)。

1. \(\exists (S_a, S_b), S_a < d_a, S_b < d_b\)，则 \((d_a, d_b)\) 一定不满足三角不等式。

2. \(\forall(S_a, S_b), S_a > d_b, S_b > d_b\)，则 \((d_a, d_b)\) 一定满足三角不等式。

这样，我们可以对每个点搞一个 set，在里面存上每个到这个点的路径权值。然后每当得到一个新的长度，就去里面查一查，看看满不满足即可。

感觉复杂度有点玄学，可能是因为数据太弱了。如果数据加强了，我立即删题解。

参考代码

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <queue>
#include <ctime>
#include <set>
#define itset set<PLL>::iterator

using namespace std;

using LL = long long;
using PII = pair<int, int>;
using PLL = pair<LL, LL>;

const int N = 2010, M = N << 1;
const LL INF = 1e12;
LL dist[N]; int n, m;
set<PLL> s[N];
bool st[N];

namespace Edges {
	int h[N], e[M], ne[M], idx; PLL w[M];
	void add(int a, int b, LL w1, LL w2) {
		e[ ++ idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx;
		w[idx] = {w1, w2};
	}
} using namespace Edges;

struct Node {
	int ver; LL a, b;
	bool operator < (const Node &tmp)const {
		return tmp.a * tmp.b < a * b;
	}
};

bool check(int u, LL a, LL b) {
	itset it = s[u].upper_bound({a, b});
	if (it != s[u].begin()) {
		it -- ;
		if (it -> second < b) return false;
	}
	return true;
}

void dij() {
	priority_queue<Node, vector<Node>> q;
	fill(dist + 1, dist + n + 1, INF);
	s[1].insert({0, 0}); dist[1] = 0;
	q.push({1, 0, 0});

	while (q.size()) {
		auto t = q.top(); q.pop();
		int ver = t.ver, a = t.a, b = t.b;

		for (int i = h[ver]; i; i = ne[i]) {
			int j = e[i];
			if (!check(j, a + w[i].first, b + w[i].second)) continue;
			s[j].insert({a + w[i].first, b + w[i].second});
			dist[j] = min(dist[j], (a + w[i].first) * (b + w[i].second));
			q.push({j, a + w[i].first, b + w[i].second});
		}
	}
}

int main() {
	scanf("%d%d", &n, &m);
	while (m -- ) {
		int a, b; LL w1, w2;
		scanf("%d%d%lld%lld", &a, &b, &w1, &w2);
		add(a, b, w1, w2), add(b, a, w1, w2);
	}

	dij();

	for (int i = 2; i <= n; i ++ )
		printf("%lld\n", dist[i] == INF ? -1 : dist[i]);

	return 0;
}