Xor-FWT 的另一种理解方式

Xor-FWT 的另一种理解方式

学习 \(\text{Fennec's Algorithm}\) 的额外收获，顺手记录一下。

假设我们要求两个长度为 \(n\) 的数组的异或卷积，为方便起见令 \(n = 2^m\)，也就是类似下面的形式

\[C_k = \sum\limits_{i \oplus j} A_i \times B_j
\]

考虑构造 \(\mathbb{Z}_2^n\) 中的向量表达异或运算。对于两条向量 \(u, v\)，它们的加法 \(u + v\) 恰好就是原本的 \(i \oplus j\)（因为是 \(\bmod 2\) 意义下所以自然不会进位）。

类似的定义向量点乘 \(u \cdot v = u_0 \times v_0 + u_1 \times v_1 + \ldots u_{m - 1} \times v_{m - 1}\)，同样是在 \(\bmod 2\) 意义下。所以结果相当于 \(\text{pocount}(i \ \text{and} \ j) \bmod 2\)。我们发现其恰好对应 \(\text{FWT}\) 的贡献系数。下面简记 \(\langle i, j \rangle = \text{pocount}(i \ \text{and} \ j) \bmod 2\)。

设 \(\hat{A}_i = \sum\limits_{j} A_i (-1)^{\langle i, j \rangle}\)。\(\text{Xor-FWT}\) 的主流程即将 \(\hat{A}\) 和 \(\hat{B}\) 的对应位置乘起来，得到 \(\hat{C}\)。

现在考虑 \(A_u\) 对 \(\hat{A}_w\) 的贡献，系数为 \((-1)^{u \cdot w}\)，类似的 \(B_v\) 对 \(\hat{B}_w\) 的贡献系数 \((-1)^{v \cdot w}\)，而对应位置系数相乘相当于指数相加，即 \(A_u \times B_v\) 对 \(C_w\) 的贡献系数 \((-1)^{(u + v) \cdot w}\)，即先将 \(u\) 和 \(v\) 做异或卷积（\(u + v\)），再考察其对 \(\hat{C}_w\) 的贡献。