POJ1703 Find them Catch them 关于分集合操作的正确性证明 种类并查集

题目链接：http://poj.org/problem?id=1703

这道题和食物链那道题有异曲同工之处，都是要处理不同集合之间的关系，而并查集的功能是维护相同集合之间的关系。这道题中有两个不同的集合，朴素并查集只能查询两者是否属于同一个集合，扩展并查集可以建立多个集合之间的关系。

本题我看了很多博客，对于两个集合，有许多博客都是采取2*n大小的并查集解决。大家的说法都是1-n属于一个集合，n-2*n属于另一个集合，我看的云里雾里，下面我想用我的方法来证明这样划分两个集合的正确性。

证明：我们人为上的操作既然不会将k和n+k结点合并就说明k结点和n+k结点永远也不会在同一个集合中，我们可以认为（k,n+k）是一组对立元组，我们要将（a,b）元组中的a和b归到不同的集合中去，由于（a,n+a）和（b,n+b）一定是对立的元组，现在我们要制造（a,b）是对立元组的局面，我们可以知道（a,n+b）属于同一个集合和（a+n,b）属于同一个集合。现在不用管两个到底具体属于哪个集合，只要知道他们是属于不同的集合，所以只要将（a,n+b）合并还有（a+n,b）合并就可以保证（a,b）是对立元组。查询时也只要看（a,b）是否属于同一个集合。证毕。

根据我的证明，大家应该对基础的种类并查集有了一点认识。代码如下：

 #include <iostream>
 #include <cstdio>
 #include <cstring>

 using namespace std;
 const int maxn = 1e5 + ;

 int n, m;
 int par[maxn*], high[maxn*];

 void init(int n)
 {
     for(int i = ; i <= n; i++)
     {
         par[i] = i;
         high[i] = ;
     }
 }

 int getRoot(int x)
 {
     return par[x] == x ? x : par[x] = getRoot(par[x]);
 }

 void unite(int x, int y)
 {
     x = getRoot(x);
     y = getRoot(y);
     if(x == y)    return;

     if(high[x] < high[y])    par[x] = y;
     else
     {
         par[y] = x;
         if(high[x] == high[y])    high[x]++;
     }
 }

 bool same(int x, int y)
 {
     return getRoot(x) == getRoot(y);
 }

 int main()
 {
     //freopen("in.txt", "r", stdin);
     int T;
     scanf("%d", &T);
     while(T--)
     {
         scanf("%d%d", &n, &m);
         init(*n);

         char op;    int a, b;
         for(int i = ; i <= m; i++)
         {
             scanf("\n%c%d%d", &op, &a, &b);
             if(op == 'D')
             {
                 unite(a, b+n);
                 unite(a+n, b);
             }
             else
             {
                 if(same(a, b+n) || same(a+n, b))    printf("In different gangs.\n");
                 else if(same(a, b) || same(a+n, b+n))    printf("In the same gang.\n");
                 else    printf("Not sure yet.\n");
             }
         }
     }
     return ;
 }