洛谷【P1595 信封问题】 题解

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题目链接

https://www.luogu.org/problem/P1595

题目描述

某人写了n封信和n个信封，如果所有的信都装错了信封。求所有信都装错信封共有多少种不同情况。

输入格式

一个信封数n（n<=20）

输出格式

一个整数，代表有多少种情况。

思路如下

n封信放进n个信封，总的方案数 = n！

令F（n）为n封信放入n个信封全放错的方案数，则n封信中有m个信封放错的方案数为：

C（m,n）×F（m）

其中C（m,n）为从n封信中选出m个放错的信和信封的方案数，F（m）为m个信全部放错信封的方案数。

n封信放进n个信封，总的方案包含以下方案：

0封信放错信封 方案数 = F（0）=1

2封信放错信封 方案数 = C（2，n）×F（2）

3封信放错信封 方案数 = C（3，n）×F（3）

4封信放错信封 方案数 = C（4，n）×F（4）

· · · · · ·

n封信放错信封 方案数 = F（n）

∴F（0）+ C（2，n）×F（2）+ ···+C（n-1，n）×F（n-1）+F（n）=n!

∴F（n）=n! - F（0）- C（2，n）×F（2）+ ···+C（n-1，n）×F（n-1）

即只要已知 F（0）、F（2）···、F（n-1），即可求得F(n)。推导到这里，这道题就可以用递推了：

由F（0）、F（2）、F（3）求得F（4），再由F（0）、F（2）、F（3）、F（4）求得F（5），再由这些求得F（6）······直到求得F（n）。

代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
#include<math.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
long long  fac(int x)
{
    register int i;
    long long f = ;  

    for (i = ;i <= x;i++)
        f *= i;

    return f;
}
int f(int m, int n)
{
    int i, j;
    int  ans = ;
    if (m < n - m) m = n - m;
    for (i = m + ; i <= n; i++) ans *= i;
    for (j = ; j <= n - m; j++) ans /= j;
    return ans;
}
int main()
{
    int i, j, n, a[],b=,c;
    cin >> n;
    if (n == ) cout << ;
    else
    {
        a[] = ;a[] = ;
        for (i = ;i <= n - ;i++)
        {
            b = ;
            c = ;
            for (j = i - ;j >= ;j--)
            {
                b += f(c, i + )*a[j - ];
                c++;
            }
            a[i - ] = fac(i + ) - b - ;
        }
        cout << a[n - ];
    }
    return ;
}

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