[算法]LeetCode 120：三角形最小路径和

题目描述：

给定一个三角形，找出自顶向下的最小路径和。每一步只能移动到下一行中相邻的结点上。

例如，给定三角形：

[
[2],
[3,4],
[6,5,7],
[4,1,8,3]
]
自顶向下的最小路径和为 11（即，2 + 3 + 5 + 1 = 11）。

说明：

如果你可以只使用 O(n) 的额外空间（n 为三角形的总行数）来解决这个问题，那么你的算法会很加分。

原题地址：https://leetcode-cn.com/problems/triangle/submissions/

题目思路：

这道题可以用递归（回溯）解答，但是时间复杂度是O(a^n)，若是采用动态递归的话，时间复杂度只需要O(m*n)，空间复杂度由O(m*n)还可以优化成O(n)。

dp[][]设置成2维的，和triangle维度一样，刚开始先初始化最后一行，和triangle最后一行一样。

转移方程：

dp[i][j] = min{dp[i+1][j], dp[i+1][j+1]} + triangle[i][j]

这个其实也可以优化，我们把行省略，dp设置成1维的，因为每个值只依赖当前值和它右侧的一个值，这样从左到右遍历的时候，就可以覆盖上一次的值了，不会影响最后结果。

dp[j] = min{dp[j], dp[j+1]} + triangle[i][j]

题目代码：

解法1：空间复杂度是O(m*n)。

public int minimumTotal(List<List<Integer>> triangle) {
        Integer[][] dp = new Integer[triangle.size()][triangle.get(triangle.size() - 1).size()];

        //初始化
        for (int i = 0; i < dp[0].length; i++) {
            dp[dp.length - 1][i] = triangle.get(dp.length - 1).get(i);
        }

        //状态转移方程
        for (int i = triangle.size() - 2; i >= 0; i--) {
            for (int j = 0; j < triangle.get(i).size(); j++) {
                dp[i][j] = Integer.min(dp[i + 1][j], dp[i + 1][j + 1]) + triangle.get(i).get(j);
            }
        }

        return dp[0][0];
    }

解法2：空间复杂度是O(n)。

public int minimumTotal(List<List<Integer>> triangle) {
        Integer[] dp = new Integer[triangle.size()];

        //初始化
        for (int i = 0; i < dp.length; i++) {
            dp[i] = triangle.get(triangle.size() - 1).get(i);
        }

        //状态转移方程
        for (int i = triangle.size() - 2; i >= 0; i--) {
            for (int j = 0; j < triangle.get(i).size(); j++) {
                dp[j] = Integer.min(dp[j], dp[j + 1]) + triangle.get(i).get(j);
            }
        }

        return dp[0];
    }