题目链接:https://codeforces.com/contest/1420/problem/D

前言

之前写过这场比赛的题解,不过感觉这一题还可以再单独拿出来好好捋一下思路。

题意

给出 $n$ 个闭区间,问 $k$ 个区间共区间共有多少种情况。

题解一

以区间为单位进行考虑,排序+优先队列。

将所有区间以左端点为第一关键字,右端点为第二关键字从小到大排序,优先队列中存储不小于当前区间左端点的之前区间的右端点,每个区间对答案的贡献即 $C_{(pque.size(),\ k - 1)}$ 。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
constexpr int N = 1e6 + 100;
constexpr int MOD = 998244353; int fac[N], inv[N]; int binpow(int a, int b) {
int res = 1;
while (b) {
if (b & 1) res = 1LL * res * a % MOD;
a = 1LL * a * a % MOD;
b >>= 1;
}
return res;
} long long C(int n, int m){
if(m < 0 or m > n) return 0;
return 1LL * fac[n] * inv[m] % MOD * inv[n - m] % MOD;
} void Init(){
fac[0] = 1;
for (int i = 1; i < N; i++) fac[i] = 1LL * fac[i - 1] * i % MOD;
inv[N - 1] = binpow(fac[N - 1], MOD - 2);
for (int i = N - 2; i >= 0; i--) inv[i] = 1LL * inv[i + 1] * (i + 1) % MOD;
} int main() {
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(nullptr); Init(); int n, k;
cin >> n >> k; vector<pair<int, int>> seg(n);
for (auto &[l, r] : seg) cin >> l >> r; sort(seg.begin(), seg.end()); long long ans = 0; priority_queue<int, vector<int>, greater<int>> pque; for (int i = 0; i < n; i++) {
auto [l, r] = seg[i];
while (pque.size() and pque.top() < l) pque.pop();
ans += C(pque.size(), k - 1);
ans %= MOD;
pque.push(r);
} cout << ans << "\n"; return 0;
}

题解二

以点为单位进行考虑,排序+离散化+差分。

记录包含当前点 $i$ 的区间个数 $dif_i$ 和以当前点为左端点的区间个数 $bg_i$,将 $k$ 个区间视为两部分,从之前区间选出的部分和从以当前点为左端点的区间中选出的部分,即 $C_{(dif_i - bg_i,\ k-j)} \times C_{(bg_i,\ j)}$,为了去重 $j$ 的值从 $1$ 取起,值域为 $[1,min(k,\ bg_i)]$,每个点对答案的贡献为 $\sum_{j = 1}^{min(k,\ bg_i)} \limits C_{(dif_i - bg_i,\ k-j)} \times C_{(bg_i,\ j)}$ 。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
constexpr int N = 1e6 + 100;
constexpr int MOD = 998244353; int fac[N], inv[N]; int binpow(int a, int b) {
int res = 1;
while (b) {
if (b & 1) res = 1LL * res * a % MOD;
a = 1LL * a * a % MOD;
b >>= 1;
}
return res;
} long long C(int n, int m){
if(m < 0 or m > n) return 0;
return 1LL * fac[n] * inv[m] % MOD * inv[n - m] % MOD;
} void Init(){
fac[0] = 1;
for (int i = 1; i < N; i++) fac[i] = 1LL * fac[i - 1] * i % MOD;
inv[N - 1] = binpow(fac[N - 1], MOD - 2);
for (int i = N - 2; i >= 0; i--) inv[i] = 1LL * inv[i + 1] * (i + 1) % MOD;
} int main() {
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(nullptr); Init(); int n, k;
cin >> n >> k; vector<int> x(n), y(n);
vector<int> disc;
for (int i = 0; i < n; i++) {
cin >> x[i] >> y[i];
disc.push_back(x[i]);
disc.push_back(y[i]);
} sort(disc.begin(), disc.end());
disc.resize(unique(disc.begin(), disc.end()) - disc.begin()); vector<int> dif(disc.size() + 1), bg(disc.size() + 1);
for (int i = 0; i < n; i++) {
int l = lower_bound(disc.begin(), disc.end(), x[i]) - disc.begin();
int r = lower_bound(disc.begin(), disc.end(), y[i]) - disc.begin();
++bg[l];
++dif[l];
--dif[r + 1];
} long long ans = 0;
for (int i = 0; i < int(dif.size()); i++) {
if (i > 0) dif[i] += dif[i - 1];
for (int j = 1; j <= min(k, bg[i]); j++) {
ans += C(dif[i] - bg[i], k - j) * C(bg[i], j);
ans %= MOD;
}
}
cout << ans << "\n"; return 0;
}

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