floyed算法
Floyed算法(实际是动态规划问题)
问题:权值矩阵matrix[i][j]表示i到j的距离,如果没有路径则为无穷
求出权值矩阵中任意两点间的最短距离
分析:对于每一对定点u,v看是否存在一个点w使从u到w再到v的路径长度比已知路径短
如果有则更新从u到w的距离
参考网页
1:不用状态压缩的动态规划算法:
状态定义:d[1][i][j]表示以1作为媒介时从i到j的最短距离
d[2][i][j]表示以1,2中的点作为媒介时从i到j的最短距离
……
d[n][i][j]表示以1,2, ……n中的点作为媒介时从i到j的最短距离
状态转移方程d[k][i][j] = min(d[k-1][i][j], d[k-1][i][j]+d[k-1][k][j]);
理解为把i到j的路径氛围两种情况,一种不经过k,一种经过k
2:状态压缩表示:
假设用d[i][j]表示从i到j的最短路径
由于d[i][j]在计算中重复使用,因此表示阶段的那一维被取消了
在没有计算出来新的d[i][j]的时候d[i][j]存储的实际是d[k-1][i][j]的值
因此可以省去表示阶段的那一维
状态转移方程:d[i][j] = min(d[i][j], d[i][j]+d[k][j]);
int matrix[M][M];
void floyed_orginal(int n)
{
for(int i = ; i <= n; i++)
{
for(int j = ; j <= n; j++)
d[][i][j] = matrix[i][j];
}
for(int k = ; k <= n; k++)
{
for(int i = ; i <= n; i++)
{
for(int j = ; j <= n; j++)
d[k][i][j] = min(d[k-][i][j], d[k-][i][k]+d[k-][k][j]);
}
}
}
void floyd()
{
for(int k = ; k <= n; k++)
for(int i = ; i <= n; i++)
for(int j = ; j <= n; j++)
d[i][j] = min(d[i][j], d[i][k] + d[k][j]);
}
路经压缩之前的floyed算法测试代码
/* 本程序中节点标号1,2,……n
floyed算法:
floyed算法实际上是动态规划,
对于任意两个点u,v,看是否存在一个点w,使得从u到w再到v的距离比从u直接到v的距离短 d[k][i][j]存储从i到j经过1, 2, ……k,的路径中的最短路径
比如d[1][i][j]存存储经过1时从i到j的最短距离
d[2][i][j]存储经过1, 2中的点时时从i到j的最短距离 得到状态转移方程d[k][i][j] = min(d[k-1][i][j], d[k-1][i][k]+d[k-1][k][j]);
*/
#define M 100
#define INF 0x3f3f3f
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <algorithm>
using namespace std;
int d[M][M][M];
int mat[M][M];
int n, m;
void FloyedOrginal()
{
//无论经不经过中间节点,任意两点间的最短距离初始化为无穷
for(int k = ; k <= n; k++)
for(int i = ; i <= n; i++)
for(int j = ; j <= n; j++)
d[i][k][k] = INF;
//不经过中间节点的时候两点间的距离初始化为两点间本身的距离
for(int i = ; i <= n; i++)
for(int j = ; j <= n; j++)
d[][i][j] = mat[i][j];
//动态规划过程
for(int k = ; k <= n; k++)
for(int i = ; i <= n; i++)
for(int j = ; j <= n; j++)
d[k][i][j] = min(d[k-][i][j], d[k-][i][j]+d[k-][k][j]);
}
void Init()
{
printf("请输入节点的个数\n");
scanf("%d", &n);
printf("请输入已知数据的组数\n");
scanf("%d", &m);
for(int i = ; i <= n; i++)
for(int j = ; j <= n; j++)
mat[i][j] = INF;
for(int i = ; i < m; i++)
{
int u, v, w;
scanf("%d%d%d", &u, &v, &w);
mat[u][v] = mat[v][u] = w;
}
}
int main()
{
Init();
FloyedOrginal();
printf("%d", d[n][][n]);
return ;
}
路径压缩之后
/* 本程序中节点标号1,2,……n
floyed算法:
floyed算法实际上是动态规划,
对于任意两个点u,v,看是否存在一个点w,使得从u到w再到v的距离比从u直接到v的距离短 d[i][j]存储从i点到j点的最短距离
*/
#define M 100
#define INF 0x3f3f3f
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <algorithm>
using namespace std;
int mat[M][M];
int n, m;
void FloyedOrginal()
{
//用k遍历所有中间节点的可能
for(int k = ; k <= n; k++)
for(int i = ; i <= n; i++)
for(int j = ; j <= n; j++)
mat[i][j] = min(mat[i][j], mat[i][k]+mat[k][j]);//是否经过k
}
void Init()
{
printf("请输入节点的个数\n");
scanf("%d", &n);
printf("请输入已知数据的组数\n");
scanf("%d", &m);
for(int i = ; i <= n; i++)
for(int j = ; j <= n; j++)
mat[i][j] = INF;
for(int i = ; i < m; i++)
{
int u, v, w;
scanf("%d%d%d", &u, &v, &w);
mat[u][v] = mat[v][u] = w;
}
}
int main()
{
Init();
FloyedOrginal();
printf("%d", mat[][]);
return ;
}
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