floyed算法

Floyed算法(实际是动态规划问题)
　　问题：权值矩阵matrix[i][j]表示i到j的距离，如果没有路径则为无穷
　　　　　求出权值矩阵中任意两点间的最短距离

　　分析：对于每一对定点u,v看是否存在一个点w使从u到w再到v的路径长度比已知路径短
　　如果有则更新从u到w的距离
　　参考网页
　　1：不用状态压缩的动态规划算法：
　　　　状态定义:d[1][i][j]表示以1作为媒介时从i到j的最短距离
　　　　　　　　 d[2][i][j]表示以1，2中的点作为媒介时从i到j的最短距离
　　　　　　　　 ……
　　　　　　　　d[n][i][j]表示以1,2， ……n中的点作为媒介时从i到j的最短距离

　　　　　　　　状态转移方程d[k][i][j] = min(d[k-1][i][j], d[k-1][i][j]+d[k-1][k][j]);

　　　　　　　　理解为把i到j的路径氛围两种情况，一种不经过k，一种经过k

　　2：状态压缩表示：
　　　　假设用d[i][j]表示从i到j的最短路径
　　　　由于d[i][j]在计算中重复使用，因此表示阶段的那一维被取消了
　　　　在没有计算出来新的d[i][j]的时候d[i][j]存储的实际是d[k-1][i][j]的值
　　　　因此可以省去表示阶段的那一维
　　　　状态转移方程：d[i][j] = min(d[i][j], d[i][j]+d[k][j]);

int matrix[M][M];
void floyed_orginal(int n)
{
    for(int i = ; i <= n; i++)
    {
        for(int j = ; j <= n; j++)
          d[][i][j] = matrix[i][j];
    }
    for(int k = ; k <= n; k++)
    {
        for(int i = ; i <= n; i++)
        {
            for(int j = ; j <= n; j++)
                d[k][i][j] = min(d[k-][i][j], d[k-][i][k]+d[k-][k][j]);
        }
    }
}
void floyd()
{
    for(int k = ; k <= n; k++)
        for(int i = ; i <= n; i++)
            for(int j = ; j <= n; j++)
                d[i][j] = min(d[i][j], d[i][k] + d[k][j]);
}

路经压缩之前的floyed算法测试代码

/*  本程序中节点标号1,2，……n
    floyed算法：
        floyed算法实际上是动态规划，
        对于任意两个点u,v,看是否存在一个点w，使得从u到w再到v的距离比从u直接到v的距离短

        d[k][i][j]存储从i到j经过1, 2, ……k,的路径中的最短路径
        比如d[1][i][j]存存储经过1时从i到j的最短距离
            d[2][i][j]存储经过1, 2中的点时时从i到j的最短距离

        得到状态转移方程d[k][i][j] = min(d[k-1][i][j], d[k-1][i][k]+d[k-1][k][j]);
*/
#define M 100
#define INF 0x3f3f3f
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <algorithm>
using namespace std;
int d[M][M][M];
int mat[M][M];
int n, m;
void FloyedOrginal()
{
    //无论经不经过中间节点，任意两点间的最短距离初始化为无穷
    for(int k = ; k <= n; k++)
        for(int i = ; i <= n; i++)
            for(int j = ; j <= n; j++)
                d[i][k][k] = INF;
    //不经过中间节点的时候两点间的距离初始化为两点间本身的距离
    for(int i = ; i <= n; i++)
        for(int j = ; j <= n; j++)
            d[][i][j] = mat[i][j];
    //动态规划过程
    for(int k = ; k <= n; k++)
        for(int i = ; i <= n; i++)
            for(int j = ; j <= n; j++)
                d[k][i][j] = min(d[k-][i][j], d[k-][i][j]+d[k-][k][j]);
}
void Init()
{
    printf("请输入节点的个数\n");
    scanf("%d", &n);
    printf("请输入已知数据的组数\n");
    scanf("%d", &m);
    for(int i = ; i <= n; i++)
        for(int j = ; j <= n; j++)
            mat[i][j] = INF;
    for(int i = ; i < m; i++)
    {
        int u, v, w;
        scanf("%d%d%d", &u, &v, &w);
        mat[u][v] = mat[v][u] = w;
    }
}
int main()
{
    Init();
    FloyedOrginal();
    printf("%d", d[n][][n]);
    return ;
}

路径压缩之后

/*  本程序中节点标号1,2，……n
    floyed算法：
        floyed算法实际上是动态规划，
        对于任意两个点u,v,看是否存在一个点w，使得从u到w再到v的距离比从u直接到v的距离短

        d[i][j]存储从i点到j点的最短距离
*/
#define M 100
#define INF 0x3f3f3f
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <algorithm>
using namespace std;
int mat[M][M];
int n, m;
void FloyedOrginal()
{
    //用k遍历所有中间节点的可能
    for(int k = ; k <= n; k++)
        for(int i = ; i <= n; i++)
            for(int j = ; j <= n; j++)
                    mat[i][j] = min(mat[i][j], mat[i][k]+mat[k][j]);//是否经过k
}
void Init()
{
    printf("请输入节点的个数\n");
    scanf("%d", &n);
    printf("请输入已知数据的组数\n");
    scanf("%d", &m);
    for(int i = ; i <= n; i++)
        for(int j = ; j <= n; j++)
            mat[i][j] = INF;
    for(int i = ; i < m; i++)
    {
        int u, v, w;
        scanf("%d%d%d", &u, &v, &w);
        mat[u][v] = mat[v][u] = w;
    }
}
int main()
{
    Init();
    FloyedOrginal();
    printf("%d", mat[][]);
    return ;
}