2018.08.30 NOIP模拟 kfib（矩阵快速幂+exgcd）

【输入】

一行两个整数 n P

【输出】

从小到大输出可能的 k，若不存在，输出 None

【样例输入 1】

5 5

【样例输出】

2

【样例解释】

f[0] = 2

f[1] = 2

f[2] = 4

f[3] = 6 mod 5 = 1

f[4] = 5 mod 5 = 0

f[5] = 1

30%的数据保证 n, P ≤ 1000

100%的数据保证 n, P ≤ 10^9

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一道算是比较综合的数论题吧，感觉不是很难。

先用矩阵快速幂求出k=1时f[n]的值。

然后解一个k*f[n]+x*p=1的方程。（考到一半惊奇的发现不能快速幂求逆元233）

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define a1 a[0][0]
#define a2 a[0][1]
#define a3 a[1][0]
#define a4 a[1][1]
using namespace std;
inline ll read(){
    ll ans=0;
    char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch))ch=getchar();
    while(isdigit(ch))ans=(ans<<3)+(ans<<1)+(ch^48),ch=getchar();
    return ans;
}
ll n,mod;
struct Node{ll a[2][2];Node(){a1=0,a2=a3=a4=1;}};
inline Node operator*(Node a,Node b){
    Node ret;
    ret.a1=(a.a1*b.a1+a.a2*b.a3)%mod;
    ret.a2=(a.a1*b.a2+a.a2*b.a4)%mod;
    ret.a3=(a.a3*b.a1+a.a4*b.a3)%mod;
    ret.a4=(a.a3*b.a2+a.a4*b.a4)%mod;
    return ret;
}
ll ans=0,a,b;
ll Exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){
    ll ret;
    if(!b){
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    else{
    ret=Exgcd(b,a%b,x,y);
    ll t=x;x=y;y=t-(a/b)*y;
    return ret;
    }
}
ll equa(ll a,ll b,ll c,ll & x,ll y){
    ll d=Exgcd(a,b,x,y);
    if(c%d)return 0;
    ll k=c/d;
    x*=k;y*=k;
    ans=(x%(b/d)+b/d)%(b/d);
    return 1;
}
inline Node ksm(ll p){
    Node x,ret;
    while(p){if(p&1)ret=ret*x;x=x*x,p>>=1;}
    return ret;
}
inline ll gcd(ll a,ll b){while(b){ll t=a;a=b,b=t%a;}return a;}
int main(){
    freopen("kfib.in","r",stdin);
    freopen("kfib.out","w",stdout);
    n=read(),mod=read();
    Node ttmp=ksm(n-2);
    ll tmp=(ttmp.a2+ttmp.a4)%mod;
    if(!tmp){puts("None");return 0;}
    if(gcd(tmp,mod)!=1){puts("None");return 0;}
    ll x,y;
    equa(tmp,mod,1,x,y);
    cout<<ans;
    return 0;
}