[BZOJ3167][HEOI2013]SAO[树dp+组合数学]

题意

给定 \(n\) 个节点和 \(n-1\) 个限制,每个节点有一个权值，每个限制形如：\(a_i< a_j\) ，问有多少个 \(1\) 到 \(n\) 排列满足要求。

\(n\leq 1000\) 。

分析

• 猜测复杂度为 \(O(n^2)\) ，并且应该要看成是树形结构。

• 定义状态 \(f_{i,j}\) 表示以 \(i\) 为根的子树内有 \(j\) 个节点权值 \(< a_i\)的合法方案数。

• 考虑转移，记 \(v\) 为 \(u\) 的儿子，有两种情况：

• \(a_u > a_v\)

\[f_{u,j+k}=\binom{j+k}{k}\binom{{son}_u+{son}_v-1-j-k}{{son}_v-k}*f_{u,j}*\sum_{x=0}^{k-1}f_{v,x}
\]

• \(a_u < a_v\)

\[f_{u,j+k}=\binom{j+k}{k}\binom{{son}_u+{son}_v-1-j-k}{{son}_v-k}*f_{u,j}*\sum_{x=k}^{{son}_v-1}f_{v,x}
\]

• 总时间复杂度为 \(O(n^2)\) 。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define go(u) for(int i=head[u],v=e[i].to;i;i=e[i].last,v=e[i].to)
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;++i)
#define pb push_back
#define re(x) memset(x,0,sizeof x)
typedef long long LL;
inline int gi(){
	int x=0,f=1;char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch))	{if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
	while(isdigit(ch)){x=(x<<3)+(x<<1)+ch-48;ch=getchar();}
	return x*f;
}
template<typename T>inline bool Max(T &a,T b){return a<b?a=b,1:0;}
template<typename T>inline bool Min(T &a,T b){return b<a?a=b,1:0;}
const int N=1e3 + 7,mod=1e9 + 7;
int T,n,edc;
int head[N],c[N][N],f[N][N],s[N],son[N],g[N];
char str[10];
struct edge{
	int last,to,c;
	edge(){}edge(int last,int to,int c):last(last),to(to),c(c){}
}e[N*2];
void Add(int a,int b,int c){
	e[++edc]=edge(head[a],b,c),head[a]=edc;
	e[++edc]=edge(head[b],a,c^1),head[b]=edc;
}
void add(int &a,int b){a+=b;if(a>=mod) a-=mod;}
void init(){
	re(head),re(f);edc=0;
}
void dfs(int u,int fa){
	son[u]=f[u][0]=1;
	go(u)if(v^fa){
		dfs(v,u); re(s);re(g);
		if(e[i].c==0){
			for(int x=0;x<son[v];++x) s[x]=((x?s[x-1]:0)+f[v][x])%mod;
			for(int tv=son[u]-1;~tv;--tv)
			for(int b=son[v];b;--b)
			add(g[tv+b],1ll*c[tv+b][b]*c[son[u]+son[v]-1-tv-b][son[v]-b]%mod*f[u][tv]%mod*s[b-1]%mod);
		}else{
			for(int x=son[v]-1;~x;--x) s[x]=(s[x+1]+f[v][x])%mod;
			for(int tv=son[u]-1;~tv;--tv)
			for(int b=son[v]-1;~b;--b)
			add(g[tv+b],1ll*c[tv+b][b]*c[son[u]+son[v]-1-tv-b][son[v]-b]%mod*f[u][tv]%mod*s[b]%mod);
		}
		memcpy(f[u],g,sizeof g);
		son[u]+=son[v];
	}
}
void work(){
	n=gi();
	for(int i=1,a,b,c;i<n;++i){
		scanf("%d%s%d",&a,str,&b);
		c=str[0]=='>'?0:1;
		Add(a+1,b+1,c);
	}
	dfs(1,0);int ans=0;
	rep(i,0,n) add(ans,f[1][i]);
	printf("%d\n",ans);
}
int main(){
	rep(i,0,N-1){
		c[i][0]=1;
		rep(j,1,i) c[i][j]=(c[i-1][j-1]+c[i-1][j])%mod;
	}
	T=gi();
	while(T--) init(),work();
	return 0;
}