DP 专练

A - 跳蚤电话

观察性质，可以发现每次连边的点一定是有祖先关系的，可以直接挂上去一个，也可以是在中间边上插入一个点。

所以我很自然的想到去计算树上的点的加入顺序，因为一但加入顺序确定，每一次的操作也就随之确定。

这东西有点类似于拓扑序计数，只不过是有一些限制。

对于一颗子树来说，我们可以发现如果root排在了第一个位置，那么对于所有儿子对应的子树就可以随便排列，也就是一个可重集排列。

另一种情况如果root不在第一个位置，那么root前面的点一定来自于同一个儿子对应的子树，root后面又是一个可重集排列。

根据以上性质我们可以考虑DP,设 \(dp_{x,i}\)为考虑x子树，x节点第i个加入所对应的方案数,\(sum_x\) 表示当前x子树并上来了多少节点,\(all_x=\sum_{i=1}^{siz_x}dp_{x,i}\)。

\(dp_{x,i}=(dp'_{x,i} \times C_{sum-i+siz_v}^{siz_v}+(i!=1)\times dp'_{x,1}\times C_{sum-i+siz_v}^{siz_v-i+1})\times all_v\)

这样得到一个复杂度上界为 \(O(n^2)\) 的做法。

观察发现，dp的实质就是考虑根的位置还有根前面的点来自于谁，于是直接枚举就行，没有必要dp。一个点会被所有的祖先枚举到，但是上界依然是\(O(n^2)\)。

不过对于大树比较浅的情况就可以通过了，期望得分 71pts。

我们尝试优化，但是上面做法的本质就是在枚举根的位置，这一步我暂时无法省略，所以无法通过本题。

换一个思路，加入行不通，我们考虑删除。

发现计算方案数并不好算，因为每并上一棵子树都需要去乘上组合数。考虑计算概率，这样的好处是对于每一棵子树概率独立，最后乘上总方案数即可。

设 \(f_x\) 为删完x子树，得到的排列是合法排列的概率。

一个朴素的做法是枚举最后一个删除的是谁。

\(f_x=\frac{1}{siz_x}\times (\prod_{v\in son_x}f_v+\sum_{v\in son_x}\frac{siz[v]}{siz[x]}f_v\times \prod_{k\in son_x \ and\ k!=v}f_k)\)

这样计算复杂度为\(O(nlogn)\)。期望得分 100pts。

把式子拆开，可以得到一个 \(O(n)\)的算法，但是拓展意义不大，所以就不多说了。

B - 密码锁

这个我只会暴搜啦。没什么好说的。

首先这个图是个竞赛图，缩点以后是条链，我们需要计算强联通分量的个数，实际上可以转化为计算割集的个数。所谓割集就是对于一个集合S，集合内部和外部的连边都是指向外边的。

暴搜计算可以得到 49pts。

根据期望的线性性，我们可以单独算出每个集合对应的概率，然后加起来就是期望。

看到大部分边权都是0.5,只有小部分是特殊的。于是我们可以分集合大小计算期望，只计算特殊边，剩下的最后乘上去即可。

考虑到特殊边的边数是不一定的，所以我们给每个特殊边的贡献乘上2,最后乘0.5，这样特殊边的边数就没有影响了。

一个朴素的思路是枚举哪些边有贡献，显然这些边的两端不在一个集合，其余没贡献的特殊边的两端在同一个集合。

这样就可以进行黑白染色，然后缩成很多个联通块，最后做一遍背包往集合里面加点就行。

复杂度 \(O(2^m\times n^2)\)。这个复杂度有点高，平颈在于背包。

观察到我们实际上是在把联通块当成物品来做背包，那么可以分开计算每个联通块的贡献。

具体的，枚举每个联通块中在割集中的是那些点，然后加上贡献。

最后对于每一个联通块，分贡献点数的多少往上做背包即可。

因为只有m条边，所以同一个联通块最多有m+1个点。复杂度 \(O(2^{m+1}+n^2)\)。期望得分 100pts。