「NOI十联测」黑暗

「NOI十联测」黑暗

\(n\) 个点的无向图，每条边都可能存在，一个图的权值是连通块个数的 \(m\) 次方，求所有可能的图的权值和。(n≤30000,m≤15)

令\(ans[n][m]\)为n个点,图的权值是连通块个数的 m 次方,最终的答案.

\(g[i]\)为\(i\)个点无向联通图数目.

一个图，若连通块数T增加1，那么贡献为\(\displaystyle (T+1)^m=\sum_{i=0}^m C_m^i T^i\).

这里选取\(i\)个点组成一个连通块（包含一个指定的点），联通块数目增加1.

\[ans[n][m]=\sum_{i=1}^{n} g_i C_{n-1}^{i-1} (\sum_{j=0}^m C_m^j ans[n-i][j])
\]

\[ans[n][m]=m!(n-1)! \sum_{i=1}^{n} {g_i \over (i-1)！}{{\sum_{j=0}^m {ans[n-i][j]\over j! (m-j)!}} \over (n-i)!}
\]

令 \(\displaystyle T[i][j]=\sum_{k=0}^j {ans[i][k]\over k! (j-k)!}\)

\[ans[n][m]=m!(n-1)! \sum_{i=1}^{n} {g_i \over (i-1)！}{ T[n-i][m] \over (n-i)!}
\]

枚举m.

m=0的时候ans即为图的个数.

之后分治FFT...

复杂度\(O(nmlog(n^2)+nm^2)\).

代码里把\(i=n\)单独提出，其实可以不提出。

#include<bits/stdc++.h>
#define rep(q,a,b) for(int q=a,q##_end_=b;q<=q##_end_;++q)
#define dep(q,a,b) for(int q=a,q##_end_=b;q>=q##_end_;--q)
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof a )
#define debug(a) cerr<<#a<<' '<<a<<"___"<<endl
using namespace std;
void in(int &r) {
	static char c;
	r=0;
	while(c=getchar(),!isdigit(c));
	do r=(r<<1)+(r<<3)+(c^48);
	while(c=getchar(),isdigit(c));
}
const int mn=30005;
const int mod=998244353;
int mul[mn],inv[mn];
int all[mn],un_able[mn],_able[mn];
int mlv(int x,int v){
    int ans=1;
    while(v){
	    if(v&1)ans=1LL*ans*x%mod;
	    x=1LL*x*x%mod,v>>=1;
	}
	return ans;
}
namespace NTT{
    const int g=3;
    const int gg=332748118;
    int n,lim,to[66000];
    void DFT(int* a,int iv){
	    rep(q,0,n-1)if(to[q]<q)swap(a[q],a[to[q]]);
	    for(int len=2;len<=n;len<<=1){
		    int mv=1,ml=mlv(iv?g:gg,(mod-1)/len),sp=len>>1;
		    for(int k=0;k<sp;++k){
			    for(int* p=a;p!=a+n;p+=len){
				    int mid=1LL*p[k+sp]*mv%mod;
				    p[k+sp]=(p[k]-mid)%mod;
				    p[k]=(p[k]+mid)%mod;
				}
				mv=1LL*mv*ml%mod;
			}
		}
	}
	void solve(int* a,int len1,int* b,int len2,int* c){
	    n=1,lim=0;
	    while(n<(len1+len2))n<<=1,++lim;
	    rep(q,len1,n-1)a[q]=0;
	    rep(q,len2,n-1)b[q]=0;
	    rep(q,0,n-1)to[q]=to[q>>1]>>1 | (q&1)<<(lim-1);
	    DFT(a,1),DFT(b,1);
	    rep(q,0,n-1)c[q]=1LL*a[q]*b[q]%mod;
	    DFT(c,0);
	    int inv_n=mlv(n,mod-2);
	    rep(q,0,n-1)c[q]=1LL*c[q]*inv_n%mod;
	    rep(q,0,n-1)c[q]=(c[q]+mod)%mod;
	}
}
int dp[mn],dp1[mn],A[66000],B[66000],C[66000];
void solve(int l,int r){
	if(l>r)return;
    if(l==r){
    	un_able[l]=1LL*un_able[l]*mul[l-1]%mod;
	    _able[l]=((long long)all[l]-un_able[l]+mod)%mod;
	    return;
	}
	int mid=l+r>>1;
	solve(l,mid);
	rep(q,l,mid)A[q-l]=1LL*_able[q]*inv[q-1]%mod;
	rep(q,1,r-l)B[q-1]=1LL*all[q]*inv[q]%mod;
	NTT::solve(A,mid-l+1,B,r-l,C);
	rep(q,mid+1,r)un_able[q]=(un_able[q]+C[q-l-1])%mod;
	solve(mid+1,r);
}
int ans[16][30005],mid[16][30005],nw;
int *md,*md1;
void cdq(int l,int r){
    if(l>r)return;
    if(l==r){
	    md[l]=1LL*mul[nw]*mul[l-1]%mod*md[l]%mod;
	    md[l]=(md[l]+_able[l])%mod;
	    rep(q,0,nw)md1[l]=(md1[l]+1LL*ans[q][l]*inv[q]%mod*inv[nw-q])%mod;
	    return;
	}
	int mid=l+r>>1;
	cdq(l,mid);
	rep(q,l,mid)A[q-l]=1LL*md1[q]*inv[q]%mod;
	rep(q,1,r-l)B[q-1]=1LL*_able[q]*inv[q-1]%mod;
	NTT::solve(A,mid-l+1,B,r-l,C);
	rep(q,mid+1,r)md[q]=(md[q]+C[q-l-1])%mod;
	cdq(mid+1,r);
}
struct qr{
    int a,b;
}st[1005];
int main(){
	freopen("dark.in","r",stdin);
	freopen("dark.out","w",stdout);

	int T,m,n=15;
	in(T);
	rep(q,1,T)in(st[q].a),in(st[q].b),n=max(n,st[q].a);

	mul[0]=1;
	rep(q,1,n)mul[q]=1LL*mul[q-1]*q%mod;
	inv[0]=inv[1]=1;
	rep(q,2,n)inv[q]=1LL*(mod-mod/q)*inv[mod%q]%mod;
	rep(q,1,n)inv[q]=1LL*inv[q]*inv[q-1]%mod;

	all[0]=1;
	rep(q,1,n)all[q]=mlv(2,q*(q-1)>>1);

	solve(1,n);

	md=ans[0],md1=mid[0];
	rep(q,1,n)md[q]=md1[q]=mlv(2,q*(q-1)>>1);
	rep(q,1,15){
		md=ans[q],md1=mid[q],nw=q;
	    cdq(1,n);
	}

	rep(q,1,T)printf("%d\n",ans[st[q].b][st[q].a]);
	return 0;
}