[loj3014]独特的城市

约定：一棵树的深度定义为其中到根最远的点到根的距离

考虑节点$x$的答案：

任取一条直径，根据直径的性质，到$x$较远的直径端点一定是到$x$最远的点之一

由此，不难证明对于$x$独特的点，一定在$x$到"到$x$较远的直径端点"的路径上

分别以直径的两个端点为根（做两次），每一次求出$x$到根路径上所有对$x$独特的点的特产数，根据前面所述，两次的最大值即为最终答案

关于这件事情，维护一个"目前独特"的集合$S$，具体定义如下：

$k$到根路径上的节点$x$中（不包括$k$），满足不存在$k$子树外的节点$y\ne x$，使得$k$到$x$和$y$的距离相等（"$k$子树"指"以$k$为根的子树"）

当递归到节点$k$时，令$mx$为$k$子树深度，将$S$中到$k$距离不超过$mx$的节点都删除，此时$S$即$k$到根路径上所有与对$k$独特的点（所构成的集合），求出其中特产数即可

接下来，考虑递归儿子$son$，令$mx$为以$k$的其余儿子子树深度的最大值+1，将$S$中到$k$距离不超过$mx$的节点都删除，然后在加入$k$（显然满足条件），并在递归完$son$后还原$S$

显然，这样做的复杂度过高，我们需要优化实现：

将$S$用一个栈维护（栈顶深度最大），"将$S$中到$k$距离不超过$mx$的节点都删除"即不断弹出栈顶

将树长链剖分，（对于节点$k$）令$mx$为$k$子树深度，$cmx$为轻儿子子树深度的最大值+1，接下来交换之前操作的顺序，即先递归重儿子，再递归轻儿子，最后统计答案

考虑递归重儿子，即将$S$中到$k$距离不超过$cmx$的节点都删除，而递归轻儿子和统计答案都是将$S$中到$k$距离不超过$mx$的节点都删除，也就不需要还原，直接操作即可

统计答案后，也不需要还原$S$，假设以此法删除的点$x$，由于删去的是到$k$距离不超过$mx$的节点，即$k$子树内必然存在节点$y$使得$k$到$x$和$y$的距离相等

那么对$x$子树内、$k$子树外的点$z$，对于$z$来说$x$一定不"独特"，只需要令$y'$为将$y$向上爬$k$到$lca(k,z)$的距离步后的节点，此时$z$到$x$和$y'$的距离显然相等

由此，发现最多在$S$中加入$o(n)$个元素，那么也即至多删除$o(n)$次，复杂度为$o(n)$

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 #define N 200005
 4 struct Edge{
 5     int nex,to;
 6 }edge[N<<1];
 7 stack<int>st;
 8 int E,n,m,x,y,a[N],head[N],dep[N],l[N],cl[N],mx[N],tot[N],ans[N];
 9 void add(int x,int y){
10     edge[E].nex=head[x];
11     edge[E].to=y;
12     head[x]=E++;
13 }
14 void dfs(int k,int fa,int s){
15     dep[k]=s;
16     mx[k]=l[k]=cl[k]=0;
17     for(int i=head[k];i!=-1;i=edge[i].nex)
18         if (edge[i].to!=fa){
19             dfs(edge[i].to,k,s+1);
20             int x=l[edge[i].to]+1;
21             if (l[k]<x){
22                 mx[k]=edge[i].to;
23                 swap(l[k],x);
24             }
25             cl[k]=max(cl[k],x);
26         }
27 }
28 void add(int k){
29     st.push(k);
30     if (++tot[a[k]]==1)ans[0]++;
31 }
32 void del(){
33     if (--tot[a[st.top()]]==0)ans[0]--;
34     st.pop();
35 }
36 void calc(int k,int fa){
37     if (fa)add(fa);
38     while ((!st.empty())&&(dep[k]-dep[st.top()]<=cl[k]))del();
39     if (mx[k])calc(mx[k],k);
40     while ((!st.empty())&&(dep[k]-dep[st.top()]<=l[k]))del();
41     ans[k]=max(ans[k],ans[0]);
42     for(int i=head[k];i!=-1;i=edge[i].nex)
43         if ((edge[i].to!=fa)&&(edge[i].to!=mx[k]))calc(edge[i].to,k);
44     if ((!st.empty())&&(st.top()==fa))del();
45 }
46 int main(){
47     scanf("%d%d",&n,&m);
48     memset(head,-1,sizeof(head));
49     for(int i=1;i<n;i++){
50         scanf("%d%d",&x,&y);
51         add(x,y);
52         add(y,x);
53     }
54     for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);
55     dfs(1,0,0);
56     x=1;
57     for(int i=2;i<=n;i++)
58         if (dep[x]<dep[i])x=i;
59     dfs(x,0,0);
60     calc(x,0);
61     x=1;
62     for(int i=2;i<=n;i++)
63         if (dep[x]<dep[i])x=i;
64     dfs(x,0,0);
65     calc(x,0);
66     for(int i=1;i<=n;i++)printf("%d\n",ans[i]);
67 }