分数化循环小数C++实现

引言

前一阵做了一个有理数四则混合运算的程序（详见：用C++实现的有理数（分数）四则混合运算计算器），以分数形式呈现运算结果。这次添加以循环小数形式呈现运算结果的功能。例如：

Please input a rational expression to calculate its value or input q to quit:

67+34*(23-78/(54*5))-2*(5/37-6.5789)
= 67 + 34 * ( 23 - 78 / ( 270 ))-2*(5/37-6.5789)
= 67 + 34 * ( 23 - 13/45 )-2*(5/37-6.5789)
= 67 + 34 * ( 1022/45 )-2*(5/37-6.5789)
= 67 + 34748/45 -2*(5/37-6.5789)
= 37763/45 -2*(5/37-6.5789)
= 37763/45 - 2 * ( 5/37 -6.5789)
= 37763/45 - 2 * ( 5/37 - 65789/10000 )
= 37763/45 - 2 * ( -2384193/370000 )
= 37763/45 - -2384193/185000
= 852[108737/1665000] {852.0653`075}

算法分析

由分数化循环小数不像由循环小数化分数那么简单明了。比如 0.2`142857 这个小数，它等于 0.2 加上 0.0`142857，用分数表示分别是 2/10 和 142857/9999990，化简即是 1/5 和 1/70，相加并化简得到分数运算结果：3/14。

现在考察由 3/14 如何反推出 0.2`142857。

1、3 / 14 = 0...3  商为0，得到小数形式结果的整数部分，余数不为0，继续

2、30 / 14 = 2...2  商为2，得到小数点后第1位小数，余数不为0，继续

3、20 / 14 = 1...6  商为1，得到小数点后第2位小数，余数不为0，继续

4、60 / 14 = 4...4 商为4，得到小数点后第3位小数，余数不为0，继续

5、40 / 14 = 2...12 商为2，得到小数点后第4位小数，余数不为0，继续

6、120 / 14 = 8...8 商为8，得到小数点后第5位小数，余数不为0，继续

7、80 / 14 = 5...10 商为5，得到小数点后第6位小数，余数不为0，继续

8、100 / 14 = 7...2 商为7，得到小数点后第7位小数，余数不为0，继续

9、20 / 14 = 1...6  商为1，得到小数点后第8位小数，余数不为0，继续

......

上述试商过程，当进行到第8步时，得到的余数是2，和第2步得到的余数相同，于是从第9步开始就会周而复始重复第3步到第8步的过程。说明已经找到了循环小数的循环体。

由于余数要小于指定的除数（即分数中的分母），上述过程必然会在有限的步数（小于除数）出现相同余数。

算法实现

在 SFraction 里增加 toDecimal 接口：

 1 struct SFraction
 2 {
 3     u64 numerator;
 4     u64 denominator;
 5     bool bNegative;
 6
 7     SFraction() {
 8         numerator = 0;
 9         denominator = 1;
10         bNegative = false;
11     }
12
13     std::string toStr(bool bFinal = false) const;
14     std::string toDecimalStr() const;
15 };

SFraction 的 toDecimal 接口实现如下：

 1 std::string SFraction::toDecimalStr() const
 2 {
 3     std::ostringstream oStream;
 4     if (bNegative)
 5     {
 6         oStream << "-";
 7     }
 8     u64 quotient = numerator / denominator;
 9     oStream << quotient;
10     u64 remainder = numerator % denominator;
11     if (remainder == 0)
12     {
13         return oStream.str();
14     }
15     oStream << ".";
16     u64 pos = 0;
17     u64 posMatched = 0;
18     std::map<u64, u64> mapRemainderPos;
19     std::vector<u64> vecQuotient;
20     while (true)
21     {
22         mapRemainderPos[remainder] = pos++;
23         remainder *= 10;
24         vecQuotient.push_back(remainder / denominator);
25         remainder = remainder % denominator;
26         if (remainder == 0)
27             break;
28         std::map<u64, u64>::iterator it = mapRemainderPos.find(remainder);
29         if (it != mapRemainderPos.end())
30         {
31             posMatched = it->second;
32             break;
33         }
34     }
35     if (remainder == 0)
36     {
37         for (size_t idx = 0; idx < vecQuotient.size(); ++idx)
38             oStream << vecQuotient[idx];
39         return oStream.str();
40     }
41     size_t idx = 0;
42     for (; idx < posMatched; ++idx)
43         oStream << vecQuotient[idx];
44     oStream << "`";
45     for (; idx < vecQuotient.size(); ++idx)
46         oStream << vecQuotient[idx];
47     return oStream.str();
48 }

然后对 SFraction 的 toStr 接口稍作调整，即可达到增加循环小数形式的呈现效果：

 1 std::string SFraction::toStr(bool bFinal) const
 2 {
 3     std::ostringstream oStream;
 4     if (bNegative)
 5     {
 6         oStream << "-";
 7     }
 8     if (denominator == 1)
 9     {
10         oStream << numerator;
11         return oStream.str();
12     }
13     if (!bFinal)
14     {
15         oStream << numerator << "/" << denominator;
16         return oStream.str();
17     }
18     if (numerator < denominator)
19     {
20         oStream << numerator << "/" << denominator << " {" << toDecimalStr() << "}";
21         return oStream.str();
22     }
23     u64 quotient = numerator / denominator;
24     u64 remainder = numerator % denominator;
25     oStream << quotient << "[" << remainder << "/" << denominator << "] {" << toDecimalStr() << "}";
26     return oStream.str();
27 }

完整代码文件提取位置

https://github.com/readalps/RationalCalculator