[luogu4607]反回文串

参考ARC064F

令$h(n)=\begin{cases}n(n为奇数)\\\frac{n}{2}(n为偶数)\end{cases}$，$f(n)$定义与ARC064F相同，答案即$\sum_{d|n}h(d)f(d)$

考虑$f(n)$的转移，即$\sum_{d|n}f(d)=k^{\lceil\frac{n}{2}\rceil}$，将后者记作$g(n)$，即$(f*1)(x)=g(x)$，那么$(g*\mu)(x)=f(x)$，代入即得到$f(n)=\sum_{d|n}\mu(\frac{n}{d})g(d)$

将之代入，原式即$\sum_{d|n}h(d)\sum_{p|d}\mu(\frac{d}{p})g(p)$

交换枚举顺序，即$\sum_{p|n}g(p)\sum_{d'|\frac{n}{p}}\mu(d')h(d'p)$

注意到当$h(d'p)\ne d'h(p)$当且仅当$d$为偶数且$p$为奇数，先来对$n$分类讨论：

1.若$n$为奇数，则$d$必然为奇数，即恒有$h(d'p)=d'h(p)$

2.若$n$为偶数，则对于奇因子$p$，对$d'$中2的幂次分类讨论——

(1)$4|d'$，根据莫比乌斯函数的定义有$\mu(d')=0$

(2)$4\not\mid d'$，这些因子一定可以被表示为$\frac{n}{p}$的奇因子以及它们的2倍，那么考虑枚举这个奇因子，即
$$
\sum_{d'|\frac{n}{p},d'为奇数}\mu(d')h(d'p)+\mu(2d')h(2d'p)=\sum_{d'|\frac{n}{p},d'为奇数}(\mu(d')+\mu(2d'))d'p=0
$$
由此，我们知道了当$n$为偶数且$p$为奇数时后面的式子一定为0，因此不妨在$n$为偶数时强制$p$为偶数

综上，原式即$\sum_{p|n,n为奇数或p为偶数}h(p)g(p)\sum_{d'|\frac{n}{p}}d'\mu(d')$

对于后者，考虑对$\frac{n}{p}$质因数分解，即$\prod_{i=1}^{k}p_{i}^{a_{i}}$，那么$d'$必然是从中选择若干个素数，假设为集合$S$，注意到此时的贡献即$(-1)^{|S|}\prod_{x\in S}p_{x}=\prod_{x\in S}(-p_{x})$

考虑$\prod_{i=1}^{k}(1-p_{i})$，对于每一项选$p_{i}$即加入$S$中，不选即可看作1，也即答案

再假设$n=\prod_{i=1}^{k}p_{i}^{a_{i}}$，注意到其因子个数并不不多，暴力递归$p$每一个素数的幂次（特判$2$这个素因子），并在递归时维护后式即可

使用Pollard-Rho算法进行$o(n^{\frac{1}{4}})$来质因数分解，再枚举因子以及$g(p)$的快速幂，复杂度为$o(\sigma(n)\log n)$

（关于Rollard-Rho算法，可以参考洛谷4718）

不难证明$\sigma(n)\le 2^{16}$（即$n<2\times 3\times...\times 53$），因此复杂度可过

  1 #include<bits/stdc++.h>
  2 using namespace std;
  3 #define ll long long
  4 vector<ll>v;
  5 int t,m,mod,ans,P[5]={3,5,7,11,13},tot[105];
  6 ll n,k,p[105];
  7 ll mul(ll x,ll y,ll n){
  8     return (__int128)x*y%n;
  9 }
 10 ll gcd(ll x,ll y){
 11     if (!y)return x;
 12     return gcd(y,x%y);
 13 }
 14 ll pow(ll n,ll m,ll mod){
 15     ll s=n,ans=1;
 16     while (m){
 17         if (m&1)ans=mul(ans,s,mod);
 18         s=mul(s,s,mod);
 19         m>>=1;
 20     }
 21     return ans;
 22 }
 23 bool check(ll n){
 24     if ((n==1)||(n==2))return 1;
 25     if (n%2==0)return 0;
 26     ll m=n-1,k=0;
 27     while (m%2==0){
 28         k++;
 29         m/=2;
 30     }
 31     for(int i=0;i<5;i++){
 32         if (n%P[i]==0)return n==P[i];
 33         ll s=pow(P[i],m,n);
 34         for(int j=0;j<k;j++){
 35             if ((mul(s,s,n)==1)&&(s!=1)&&(s!=n-1))return 0;
 36             s=mul(s,s,n);
 37         }
 38         if (s>1)return 0;
 39     }
 40     return 1;
 41 }
 42 ll get_fac(ll n){
 43     ll x=rand()%n,c=rand()%n,y=(mul(x,x,n)+c)%n,z=1,tot=0;
 44     while (1){
 45         if ((x==y)||(tot%100==0)){
 46             if (gcd(z,n)>1)return gcd(z,n);
 47             if (x==y)return 1;
 48             z=1;
 49         }
 50         tot++;
 51         z=mul(z,(x+n-y)%n,n);
 52         if (!z)return gcd((x+n-y)%n,n);
 53         x=(mul(x,x,n)+c)%n;
 54         y=(mul(y,y,n)+c)%n;
 55         y=(mul(y,y,n)+c)%n;
 56     }
 57 }
 58 void calc(ll n){
 59     if (check(n)){
 60         v.push_back(n);
 61         return;
 62     }
 63     while (1){
 64         ll p=get_fac(n);
 65         if (p>1){
 66             calc(p);
 67             calc(n/p);
 68             return;
 69         }
 70     }
 71 }
 72 void dfs(int k,ll d,int s){
 73     if (k>p[0]){
 74         if ((n%2==0)&&(d&1))return;
 75         if (d&1)ans=(ans+1LL*s*pow(m,(d+1)/2,mod)%mod*(d%mod))%mod;
 76         else ans=(ans+1LL*s*pow(m,(d+1)/2,mod)%mod*(d/2%mod))%mod;
 77         return;
 78     }
 79     for(int i=1;i<=tot[k];i++)d*=p[k];
 80     dfs(k+1,d,s);
 81     s=1LL*s*(mod+1-p[k]%mod)%mod;
 82     for(int i=1;i<=tot[k];i++){
 83         d/=p[k];
 84         dfs(k+1,d,s);
 85     }
 86 }
 87 int main(){
 88     srand(time(0));
 89     scanf("%d",&t);
 90     while (t--){
 91         scanf("%lld%lld%d",&n,&k,&mod);
 92         m=k%mod;
 93         v.clear();
 94         calc(n);
 95         sort(v.begin(),v.end());
 96         ans=p[0]=0;
 97         for(int i=0;i<v.size();i++){
 98             if (v[i]!=p[p[0]]){
 99                 p[++p[0]]=v[i];
100                 tot[p[0]]=0;
101             }
102             tot[p[0]]++;
103         }
104         dfs(1,1,1);
105         printf("%d\n",ans);
106     }
107 }