[atAGC046E]Permutation Cover

每一个点都在一个排列中等价于所有排列覆盖所有位置

有解当且仅当满足$a_{y}\le 2a_{x}$（其中$a_{x}$为$a_{i}$的最小值，$a_{y}$为$a_{i}$的最大值）

证明：贪心选择排列覆盖，即令$r'=与[1,r]有交的排列中最大的右端点+1$（初始$r=1$，若$r=r'$则不合法），令以此法选出的排列总数为$s$，以下证明$a_{y}\le s\le 2a_{x}$

对于每一个$p_{i}=x$，包含$i$的排列最多有两个，那么包含$x$的排列数最多为$2x$，同时一个排列必然包含$x$，即可得$s=包含x的排列数\le 2a_{x}$

对于每一个$p_{i}=y$，包含$i$的排列至少有1个，类似的即$s=包含y的排列数\ge a_{y}$

反过来，这个条件也是充分的，考虑通过以下方法构造合法解：

若$a_{x}=a_{y}$，将$\{1,2,...,n\}$重复写$a_{x}$次即可

若$a_{x}<a_{y}$，不断放两个相交的排列，交为所有$a_{t}=a_{x}$的$t$（即其余数都出现2次，这些数重复，仅出现1次），由于初始$a_{y}\le 2a_{x}$，因此最终会有$a_{x}=a_{y}\ge 0$，再用第1种方法即可

接下来，构造字典序最小的解——

考虑增量法，每一次插入一段使得后缀是一个排列，贪心要求插入字典序最小的段，问题即变为判定插入后是否合法

（若字典序比较为前缀关系取较短的串即可，因为可以将后面多出的一部分可以放在下一段中调整）

令插入后的每一个数还需要出现的次数为$a_{i}$，仍然对$a_{x}$和$a_{y}$讨论：

1.若$a_{y}\le 2a_{x}$，一定可行；若$a_{y}>2a_{x}+1$，一定不可行

2.若$a_{y}=2a_{x}+1$，可以将末尾这个排列看成我们构造合法解中两个排列的前半个，那么我们相当于要让其能够与后一个交上$a_{t}=a_{x}$的部分但不交$a_{t}=a_{y}$的部分

由于下一个排列也是任意的，因此即要求$a_{t}=a_{x}$的位置都在$a_{t}=a_{y}$的位置之后

这个条件的必要性也狠显然，因为如果不满足，类似于上面对$s$范围进行分析即可发现矛盾

考虑枚举插入段的长度，根据原来$p_{i}$的后缀就可以确定插入后的$a_{i}$，顺序再通过上面的结论贪心即可

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 #define N 1005
 4 vector<int>oo,v,ans;
 5 int n,L,l,a[N],b[N],vis[N],p[N];
 6 int get_min(){
 7     int ans=a[1];
 8     for(int i=2;i<=n;i++)ans=min(ans,a[i]);
 9     return ans;
10 }
11 int get_max(){
12     int ans=a[1];
13     for(int i=2;i<=n;i++)ans=max(ans,a[i]);
14     return ans;
15 }
16 void min_zdx(vector<int>&x,vector<int>y){
17     for(int i=0;i<min(x.size(),y.size());i++)
18         if (x[i]!=y[i]){
19             if (x[i]>y[i])x=y;
20             return;
21         }
22     if (x.size()>y.size())x=y;
23 }
24 void get_nex(int k){
25     v.clear();
26     if ((l+k<n)||(l+k>L)){
27         v=oo;
28         return;
29     }
30     memset(vis,0,sizeof(vis));
31     for(int i=l+k-n+1;i<=l;i++)vis[p[i]]=1;
32     for(int i=1;i<=n;i++)
33         if (!vis[i]){
34             v.push_back(i);
35             a[i]--;
36         }
37     int x=get_min(),y=get_max();
38     if (2*x>=y)return;
39     if (2*x+1<y){
40         v=oo;
41         return;
42     }
43     int las=0;
44     for(int i=0;i<v.size();i++)
45         if (a[v[i]]==y)las=i;
46     vector<int>vv,vx;
47     for(int i=0;i<v.size();i++){
48         if ((i>las)||(a[v[i]]!=x))vv.push_back(v[i]);
49         else vx.push_back(v[i]);
50         if (i==las)
51             for(int j=0;j<vx.size();j++)vv.push_back(vx[j]);
52     }
53     v=vv;
54 }
55 int main(){
56     scanf("%d",&n);
57     for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);
58     if (2*get_min()<get_max()){
59         printf("-1");
60         return 0;
61     }
62     for(int i=1;i<=n;i++)L+=a[i];
63     oo.push_back(n+1);
64     while (l<L){
65         ans=oo;
66         for(int i=1;i<=n;i++){
67             memcpy(b,a,sizeof(a));
68             get_nex(i);
69             memcpy(a,b,sizeof(b));
70             min_zdx(ans,v);
71         }
72         for(int i=0;i<ans.size();i++){
73             p[++l]=ans[i];
74             a[ans[i]]--;
75         }
76     }
77     for(int i=1;i<=l;i++)printf("%d ",p[i]);
78 }