【高级算法】模拟退火算法解决3SAT问题(C++实现)

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1 SAT问题描写叙述

命题逻辑中合取范式 (CNF)的可满足性问题 (SAT)是当代理论计算机科学的核心问题,是一典型的NP全然问题.在定义可满足性问题SAT之前，先引进一些逻辑符号。

watermark/2/text/aHR0cDovL2Jsb2cuY3Nkbi5uZXQvemhvdWJpbjE5OTI=/font/5a6L5L2T/fontsize/400/fill/I0JBQkFCMA==/dissolve/70/gravity/Center" alt="">

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2  模拟退火算法

模拟退火算法来源于固体退火原理，将固体加温至充分高。再让其徐徐冷却，加温时。固体内部粒子随温升变为无序状，内能增大，而徐徐冷却时粒子渐趋有序，在每一个温度都达到平衡态。最后在常温时达到基态，内能减为最小。用固体退火模拟组合优化问题，将内能E模拟为目标函数值f，温度T演化成控制參数t，即得到解组合优化问题的模拟退火算法：由初始解i和控制參数初值t開始。对当前解反复“产生新解→计算目标函数差→接受或舍弃”的迭代，并逐步衰减t值，算法终止时的当前解即为所得近似最优解，这是基于蒙特卡罗迭代求解法的一种启示式随机搜索过程。

模拟退火算法能够分解为解空间、目标函数和初始解3部分。其基本思想是：

(1)初始化：初始温度T(充分大)，初始解状态s(是算法迭代的起点)。每一个T值的迭代次数L(Markov链长)，衰减准则α，停止准则。

(2)对k=1，……，L做第(3)至第(6)步。

(3)产生新解s′。

(4)计算增量cost=cost(s′)-cost(s)，当中cost(s)为评价函数；

(5)若t′＜0则接受s′作为新的当前解，否则以概率exp(-t′/T)接受s′作为新的当前解。

(6)假设满足终止条件则输出当前解作为最优解，结束程序。否则T逐渐降低，并转第2步运算。

模拟退火算法伪代码例如以下：

<span style="font-size:14px;">choose an initial solution X0  randomly    //随机的选择一个初始解X0
give an initial temperature T0 , X ← X0, T ← T0    //初始化温度T0
while the stop criterion is not yet satisfied do    //停止准则不满足则
  {   for i ← 1 to  L do                          //Markov 链的长度 L
       { pick a solution  X'∈N(X) randomly  //随机选择临域内一个解X'
         Δf ← f(X')-f(X)
         if Δf<0  then  X ← X'
         else  X ← X' with  probability exp(- Δf/T)  }
// 以exp(- Δf/T)的接受概率接受X'
 T← g(T)    //generally, T ← aT    }      //温度下降
 return X
</span>

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3 C++实现代码

// SA3Sat.cpp : 定义控制台应用程序的入口点。
//
/*********************************
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模拟退火解决3SAT问题（C++实现代码）
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Author:牧之丶  Date：2014年
Email:bzhou84@163.com
**********************************/
#include "stdafx.h"
#include <iostream>
#include <time.h>
#include <fstream>
#include <math.h>
using namespace std;

#define ANSSIZE 100

int ans[ANSSIZE];
int new_ans[ANSSIZE];
int **x;
int n=100;
int m=430;
int randomi(int a, int b)
{
	int c=rand()%(b-a+1)+a;
	return c;
}

double randomf(double a, double b)
{

	double c = (double)(rand()%((int)b-(int)a)) + a + (double)(rand()/(RAND_MAX + 1.0));
	return c;
}

void Johnson(int n)
{
	for (int i = 0 ; i<n ; i++)
	{
		if ((double)rand()/(RAND_MAX)>0.5)
		{
			ans[i] = 1;
		}
		else
		{
			ans[i] = 0;
		}
	}
}

int satisfied_ans(int m)
{
	int count = 0;
	int i,j;
	for (i = 0 ; i<m ; i++)
	{
		for (j = 0 ; j<3 ; j++)
		{
			if (x[i][j]<0)
			{
				int temp= (-1)*x[i][j];
				if (ans[temp-1]==0)
				{
					count++;
					break;
				}
			}
			else if (x[i][j]>0)
			{
				if (ans[x[i][j]-1]==1)
				{
					count++;
					break;
				}
			}
		}
	}
	return count;
}

int satisfied_new_ans(int m)
{
	int count = 0;
	int i,j;
	for (i = 0 ; i<m ; i++)
	{
		for (j = 0 ; j<3 ; j++)
		{
			if (x[i][j]<0)
			{
				int temp= (-1)*x[i][j];
				if (new_ans[temp-1]==0)
				{
					count++;
					break;
				}
			}
			else if (x[i][j]>0)
			{
				if (new_ans[x[i][j]-1]==1)
				{
					count++;
					break;
				}
			}
		}
	}
	return count;
}

void disturb(int n)
{
	for (int j = 0 ; j<n ;j++)
	{
		new_ans[j] = ans[j];
	}
	int i = rand()%n;
	new_ans[i] = 1-new_ans[i];
}

bool accept(int deta,float T)
{
	if (deta>0)
	{
		return 1;
	}
	else if(((deta<0)&&(exp(deta/T)>randomf(0,1))))
	{
		return 1;
	}
	return 0;
}

void SA3Sat(int n,int m)
{
	int i;
	Johnson(n);   //初始解
	float T = 1000;  //初始温度
	int L = 100*n;
	float T_time=0.001;
	while(T>T_time&&satisfied_ans(m)!=m)
	{
		for (i= 0 ; i<L ; i++)
		{
			disturb(n);
// 			for (i = 0 ; i<n ; i++)
// 			{
// 				cout<<ans[i]<<" ";
// 			}
			int deta = satisfied_new_ans(m)-satisfied_ans(m);
			if (accept(deta,T))
			{
				for (int j = 0 ; j<n ; j++)
				{
					ans[j] = new_ans[j];
				}
			}
		}
		T = 0.98*T;
	}
}

int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
{
	// 	int n,m,i,j;
// 	cin>>n>>m;     //3SAT问题
// 	x = new int*[m];
// 	for (i = 0 ; i<m ; i++)
// 	{
// 		x[i] = new int[3];
// 	}
// 	for (i = 0 ; i<m ; i++)   //子句
// 	{
// 		for (j = 0 ; j<3 ; j++)
// 		{
// 			cin>>x[i][j];
// 		}
// 	}
	double run_time = 0.0; //执行时间
	time_t start,end;
	start = clock();
	ifstream fin;
	fin.open("10.txt");
	int i,j,t;
	x = new int*[m];
	for (i = 0 ; i<m ; i++)
	{
		x[i] = new int[3];
	}
	for (i = 0 ; i<m ; i++)
	{
		for (j = 0 ; j<3 ; j++)
		{
			fin>>x[i][j];
		}
		fin>>t;
	}
	fin.close();

	srand((unsigned)time(NULL));
	SA3Sat(n,m);
 	cout<<"可满足的子句个数："<<satisfied_ans(m)<<endl;
 	cout<<"变元的终于取值为：";
 	for (i = 0 ; i<n ; i++)
 	{
 		cout<<ans[i]<<" ";
 	}
// 	if (satisfied_ans(m)==m)
// 	{
// 		cout<<"Yes";
// 	}
// 	else
// 	{
// 		cout<<"No";
// 	}
	end = clock();
	run_time = (end - start)/CLOCKS_PER_SEC;
	printf("执行时间为 : %f\n", run_time);
	system("pause");
	return 0;
}

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4  实验结果

4.1 參数设置

控制參数初值：t₀=1000。

停止准则：温度达到设置的下限时即停止算法执行或达到最大可满足子句条件。

冷却进度表中的控制參数t的衰减函数：a(t)=0.98*t;

Mapkob链长：定长100*m。

4.2 实验结果

測试用例(1.txt)：http://download.csdn.net/detail/zhoubin1992/8794893

样本为1.txt。变元个数n=30，子句个数m=129时，可满足的子句数为128，执行时间为19.0000秒。结果例如以下：

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參考文献

[1]  张德富.算法设计与分析（高级教程）[M].国防工业出版社，2007.