open ball、closed ball 与 open set、closed set（interior point，limit point）、dense set

0. demo

在拓扑学上，open set（开集）是对实数轴（real line）上开区间（open interval）的拓展。

• 红色圆盘：{(x,y)|x2+y2<r2}，蓝色圆圈：{(x,y)|x2+y2=r2}
• 红色点集即为一种 open set，蓝色点集则为 boundary set，
• 红色点集和蓝色点集的并构成了 closed set；

1. interior point 与 limit point

度量空间 (X,d) 中的任一子集 S，x 如果想成为 S 中的一个内点，则要求，存在一个 r>0，使得 {y|d(x,y)<r}∈S；

• {y|d(x,y)<r} 刻画的其实是 x 在度量空间 (X,d) 中的邻域；

首先需要注意的是，极限点 x （limit point 或叫 accumulation point）作用的对象是拓扑空间 (X,d) 中的集合 M 上（也即极限点，是集合的极限点），x∈X 但 x 可以不属于集合 M，也即一个集合在某拓扑空间中的极限点，可以不在该集合中。

x 如果想要成为集合 M 的极限点，要求，∀ϵ>0（任给无穷小，open ball 的半径 radius），∃m∈M（总可以在集合 M 中找到），使得 m∈B(x,ϵ)，

不妨考虑如下这样一种直观的例子，实数轴上 −r<x<r 的开区间内，当然也可将其视为集合，该集合的 limit point 显然就是两个端点（±r），分别以两个端点为圆心，以任意无限小半径（∀ϵ>0）画圆，总可以在内侧区域找到 ∃m∈M。

2. open ball 是 open sets 的证明

Proof that Open balls are Open sets

给定度量空间 (X,d)，x∈X，r>0，构成一个 open ball，记为 B(x,r)，此时需要证明的则是，B(x,r) 是一个 open set。

证明过程如下：

B(x,r)≠ϕ，在 B(x,r) 内选择一点 y（y∈B(x,r)），显然有 d(x,y)<r，不妨假定 d(x,y)=h，此时我们以 y 为中心点，以 r−h 为新的半径，构成 B(y,r−h)（因为 y 是任意变化的），取 z∈B(y,r−h)，根据度量空间中的三角不等式性，有：

d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z),d(x,y)=h,d(y,z)<r−h⇓d(x,z)<h+r−h=r

因此 z∈B(x,r)，也即 B(y,r−h)⊂B(x,r)，因此 y 是 B(x,r) 的一个内点（interior point），又因为 y 是 B(x,r) 内的任一点，则 B(x,r) 是一个 open set。

3. dense set

给定度量空间 (X,d)，A⊂X，集合 A 是 dense set（密集）如果 ∀x∈X 是集合 A 的 limit point。

根据 limit point 的定义，也即 ∀r>0，总可以找到（∃a∈A），a∈B(x,r).