hihocoder 1169 猜数字

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时间限制:10000ms

单点时限:5000ms

内存限制:256MB

描述

你正在和小冰玩一个猜数字的游戏。小冰首先生成一个长为N的整数序列 $A_1, A_2, \dots , A_N$。在每一轮游戏中，小冰会给出一个区间范围 $[L, R]$，然后你要猜一个数 $K$。如果 $K$ 在 $A_L, A_{L+1}, \dots , A_R$ 中，那么你获胜。

在尝试了几轮之后，你发现这个游戏太难（无聊）了。小冰决定给你一些提示，你每猜一次，小冰会告诉你 $K$ 与 $A_L, A_{L+1}, \dots, A_R$ 中最接近的数的绝对差值，即 $\min(|A_i - K|), L \le i \le R$。

现在，请你实现这个新功能。

输入

第一行为一个整数 $T$，表示数据组数。

每组数据的第一行为两个整数 $N$ 和 $Q$。

第二行为 $N$ 个由空格分开的整数，分别代表 $A_1, A_2, \dots, A_N$。

接下来 $Q$ 行，每行三个由空格隔开的整数 $L、R、K$。

输出

每组数据的先输出一行"Case #X:"，X为测试数据编号。

接下来对每个询问输出一行，每行为一个整数，即为所求的值。

数据范围

1 ≤ T ≤ 20

0 ≤ Ai, K ≤ 109

1 ≤ L ≤ R ≤ N

小数据

1 ≤ N, Q ≤ 1000

大数据

1 ≤ N, Q ≤ 200000

输入数据量较大，推荐使用scanf / BufferedReader等IO方法。

样例输入

1
9 3
1 8 3 4 9 2 7 6 5
1 9 10
3 7 9
5 6 5

样例输出

Case #1:

　　1

　　0

　　3

Solution

先定义一个概念

给定数组 $a_{1},\dots,a_{n}$，数 $k$ 在区间 $[l,r]$ 上的Rank——记作Rank(k, l, r)——定义为：

　　a[l..r]上小于k的数字的个数

对于每组询问 $L, R, K$，先求出Rank(K, L, R)，剩下的问题就是求（静态）区间第 $k$ 小。

为了方便表述，将 $a[l \dots r]$ 上第 $k$ 小的数记作 least(k, l, r)，ans表示每个查询的答案，分三种情况：

(1) Rank(K, L, R) = 0, 　　　　　　ans = least(Rank(K, L, R)+1, L, R) - K 

(2) Rank(K, L, R) = R-L+1, 　　　ans = K - least(Rank(K, L, R), L, R)

(3) otherwise,　　　　　　　　 　　ans = min(least(Rank(K, L, R)+1, L, R) - K, K - least(Rank(K, L, R), L, R))

Rank(K, L, R)与least(K, L, R)都可用划分树实现，单次查询的时间复杂度都是O(log n)，而且二者代码非常相似。

划分树的空间复杂度是 $O(n \log n)$。

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划分树 (partition tree)

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划分树是线段树的一种，用于维护数组 $A[1 \dots n]$。它的每个节点u代表数组 $A$ 的一些元素。

假设内部（即非叶子)节点 $u$ 表示元素是 $u[L..R] \subset A$，定义节点 $u$ 的长度 $u.length=R-L+1$，记 $u$ 的左右儿子分别为 $v, w$，令

\[mid\equiv \frac{L+R}{2}\]

则

\[v.length=mid-L+1,   w.length=R-mid\]

或者表示成

\[ v = v[L, mid], w=w(mid,R] \] 

Implmentation

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N(2e5+);

int a[][N], toleft[][N], sa[N];

void build(int lev, int l, int r){
    if(l==r) return;
    int mid=(l+r)>>, &tar=sa[mid], nl=mid-l+;
    for(int i=l; i<=r; i++) if(a[lev][i]<tar) nl--;
    for(int i=l, lp=l, rp=mid+; i<=r; i++){
        if(a[lev][i]<tar) a[lev+][lp++]=a[lev][i];
        else if(a[lev][i]>tar) a[lev+][rp++]=a[lev][i];
        else nl?a[lev+][lp++]=a[lev][i],nl--:a[lev+][rp++]=a[lev][i];
        toleft[lev][i]=toleft[lev][l-]+lp-l;
    }
    build(lev+, l, mid); build(lev+, mid+, r);
}
//Rank(l, r, k):区间[l, r]内比k小的数的个数
//满足区间加法
int Rank(int lev, int L, int R, int l, int r, int val){
    if(L==R) return a[lev][L]<val;

    int nl=toleft[lev][r]-toleft[lev][l-], nr=r-l+-nl, mid=(L+R)>>;

    if(sa[mid]>=val){
        if(nl){
             l=L+toleft[lev][l-]-toleft[lev][L-];
            r=l+nl-;
            return Rank(lev+, L, mid, l, r, val);
        }
        return ;    //error-prone
    }
    else{
        if(nr){
            r+=toleft[lev][R]-toleft[lev][r];
            l=r-nr+;
            return nl+Rank(lev+, mid+, R, l, r, val);
        }
        return nl;
    }
}

int Query(int lev, int L, int R, int l, int r, int k){
    if(L==R) return a[lev][L];

    int nl=toleft[lev][r]-toleft[lev][l-], nr=r-l+-nl, mid=(L+R)>>;

    if(nl>=k){
        l=L+toleft[lev][l-]-toleft[lev][L-];
        r=l+nl-;
        return Query(lev+, L, mid, l, r, k);
    }
    r+=toleft[lev][R]-toleft[lev][r];
    l=r-nr+;
    return Query(lev+, mid+, R, l, r, k-nl);
}

int main(){
    int T; scanf("%d", &T);
    for(int n, q, cs=; T--;){
        scanf("%d%d", &n, &q);
        printf("Case #%d:\n", ++cs);

        for(int i=; i<=n; i++) scanf("%d", sa+i), a[][i]=sa[i];
        sort(sa+, sa+n+);

        build(, , n);

        for(int l, r, k, rk, res; q--;){
            scanf("%d%d%d", &l, &r, &k);
            rk=Rank(, , n, l, r, k);
            //printf("%d\n", rk);
            if(rk==) res=Query(, , n, l, r, rk+)-k;
            else if(rk==r-l+) res=k-Query(, , n, l, r, rk);
            else res=min(Query(, , n, l, r, rk+)-k, k-Query(, , n, l, r, rk));
            printf("%d\n", res);
        }
    }
}

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问题解决了，但代码不是可以写得再短一些？

Rank和Query可否合并到一起呢？