有向无环图的应用—AOV网 和 拓扑排序

有向无环图：无环的有向图，简称 DAG (Directed Acycline Graph) 图。

一个有向图的生成树是一个有向树，一个非连通有向图的若干强连通分量生成若干有向树，这些有向数形成生成森林。

在工程计划和管理方面的应用

除最简单的情况之外，几乎所有的工程都可分为若干个称作“活动”的子工程，并且这些子工程之间通常受着一定条件的约束，例如：其中某些子工程必须在另一些子工

程完成之后才能开始。对整个工程和系统，人们关心的是两方面的问题：

一是工程能否顺利进行，即工程流程是否“合理”；

二是完成整个工程所必须的最短时间。

对应到有向图即为进行拓扑排序（AOV网）和求关键路径（AOE网）。

拓扑排序

AOV 网：用一个有向图表示一个工程的各子工程及其相互制约的关系，其中以顶点表示活动，弧表示活动之间的优先制约关系，称这种有向图为顶点表示活动的网，简称AOV (Activity On  Vertex network)网。

比如、某工程可分为7个子工程(V0、V1、V2、V3、V4、V5、V6)，若用顶点表示子工程（也称活动），用弧表示子工程间的顺序关系，工程流程可用如下的AOV网表示。

比如排课表

AOV 网的特点：若从 i 到 j 有一条有向路径，则 i是 j 的前驱；j 是 i 的后继。若 < i , j > 是网中有向边，则 i 是 j 的直接前驱； j 是 i 的直接后继。AOV 网中不允许有回路，因为如果有回路存在，则表明某项活动以自己为先决条件，显然这是荒谬的。

问题：如何判别 AOV 网中是否存在回路？即如何AOV网表示的工程能顺利进行？合理？

拓扑排序：

在 AOV 网没有回路的前提下，我们将全部活动排列成一个线性序，使得若 AOV 网中有弧 <i,  j> 存在，则在这个序列中， i  一定排在  j的前面，具有这种性质的线性序列称为拓扑有序序列，相应的拓扑有序排序的算法称为拓扑排序。

注意：

1、若将图中顶点按拓扑次序排成一行，则图中所有的有向边均是从左指向右的。

2、若图中存在有向环，则不可能使顶点满足拓扑次序。

3、一个DAG可能存在多个拓扑序列。

检测 AOV 网中是否存在环方法：

DFS（深度优先搜索），出现返回边则有环；拓扑排序，若所有的顶点都出现在拓扑排序中，则不出现环。如果使用 DFS 进行拓扑排序，那么结果是逆向的拓扑排序有序序列。 

拓扑排序方法：

1)在有向图中选一个无前趋的顶点v，输出之；

2)从有向图中删除v及以v为尾的弧；

3)重复1)、2)，直接全部输出全部顶点或有向图中不存在无前趋的结点时为止。

删除 v2，v3，v4，v5，v6以及以他们为尾部的弧

注意：一个AOV网的拓扑序列不是唯一的