P1707 刷题比赛

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题目提供者nodgd
标签倍增递推矩阵洛谷原创
难度提高+/省选-

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题目背景

nodgd是一个喜欢写程序的同学，前不久洛谷OJ横空出世，nodgd同学当然第一时间来到洛谷OJ刷题。于是发生了一系列有趣的事情，他就打算用这些事情来出题恶心大家……

题目描述

洛谷OJ当然算是好地方，nodgd同学打算和朋友分享一下。于是他就拉上了他的朋友Ciocio和Nicole两位同学一起刷题。喜欢比赛的他们当然不放过这样一次刷题比赛的机会！

在第1天nodgd,Coicoi,Nicole都只做了1道题。

在第2天nodgd,Coicoi,Nicole都只做了3道题。

他们都有着严格的刷题规则，并且会在每一天都很遵守规则的刷一定量的题。

(1)nodgd同学第k+2天刷题数量a[k+2]=p*a[k+1]+q*a[k]+b[k+1]+c[k+1]+r*k^2+t*k+1;

(2)Ciocio同学第k+2天刷题数量b[k+2]=u*b[k+1]+v*b[k]+a[k+1]+c[k+1]+w^k;

(3)Nicole同学第k+2天刷题数量c[k+2]=x*c[k+1]+y*c[k]+a[k+1]+b[k+1]+z^k+k+2;

（以上的字母p,q,r,t,u,v,w,x,y,z都是给定的常数，并保证是正整数）

于是他们开始了长时间的刷题比赛！一共进行了N天(4<=N<=10^16)

但是时间是可贵的，nodgd想快速知道第N天每个人的刷题数量。不过nodgd同学还有大量的数学竞赛题、物理竞赛题、英语竞赛题、美术竞赛题、体育竞赛题……要做，就拜托你来帮他算算了。

由于结果很大，输出结果mod K的值即可。

输入输出格式

输入格式：

第一行两个正整数N,K。(4<=N<=10^16，2<=K<=10^16)

第二行四个正整数p,q,r,t。

第三行三个正整数u,v,w。

第四行三个正整数x,y,z。

(保证p,q,r,t,u,v,w,x,y,z都是不超过100的正整数)

输出格式：

共三行，每行一个名字+一个空格+一个整数。依次是nodgd,Ciocio,Nicole和他们在第N天刷题数量mod K的值。

输入输出样例

输入样例#1：

输出样例#1：

nodgd 74

Ciocio 80

Nicole 59

说明

矩阵乘法。

注意，中间相乘过程可能会比64位长整型的数据范围还要大。

看到数据范围很大，之后异想天开，以为一定会答案循环，再加上快速幂，最多也只是50分。

#include<cstdio>

#include<iostream>

#define ll long long

using namespace std;

const int N=2e5+;

ll n,mod;

ll a[N]={,,};

ll b[N]={,,};

ll c[N]={,,};

ll kpow(ll a,ll p){

    ll ans=;

    for(;p;p>>=,a=(a*a)%mod) if(p&) ans=(ans*a)%mod;

    return ans;

}

int main(){

    //freopen("sh.txt","r",stdin);

    int p,q,r,t,u,v,w,x,y,z;ll ma(),mb(),mc();bool fa(),fb(),fc();

    cin>>n>>mod;

    cin>>p>>q>>r>>t>>u>>v>>w>>x>>y>>z;

    if(mod==){printf("nodgd 0\nCiocio 0\nNicole 0\n");return ;}

    if(n==){printf("nodgd 1\nCiocio 1\nNicole 1\n");return ;}

    if(n==){printf("nodgd %d\nCiocio %d\nNicole %d\n",%mod,%mod,%mod);return ;}

    for(ll i=;i<=n;i++){

        a[i]=(p*a[i-]%mod+q*a[i-]%mod+b[i-]+c[i-]+r%mod*kpow((i-)%mod,)%mod+t*(i-)%mod+)%mod;

        b[i]=(u*b[i-]%mod+v*b[i-]%mod+a[i-]+c[i-]+kpow(w%mod,(i-))%mod)%mod;

        c[i]=(x*c[i-]%mod+y*c[i-]%mod+a[i-]+b[i-]+kpow(z%mod,(i-))%mod+i)%mod;

        if(a[i]==a[]&&a[i-]==a[]){ma=i-;fa=;}

        if(b[i]==b[]&&b[i-]==b[]){mb=i-;fb=;}

        if(c[i]==c[]&&c[i-]==c[]){mc=i-;fc=;}

        if(fa&&fb&&fc) break;

    }

    if(fa&&fb&&fc){

        cout<<"nodgd "<<a[n%ma]<<endl;

        cout<<"Ciocio "<<b[n%mb]<<endl;

        cout<<"Nicole "<<c[n%mc]<<endl;

    }

    else{

        cout<<"nodgd "<<a[n]<<endl;

        cout<<"Ciocio "<<b[n]<<endl;

        cout<<"Nicole "<<c[n]<<endl;

    }

    return ;

}

看到标签，“矩阵乘法”，去网上看了看矩阵乘法

附上AC代码：

#include<iostream>

#include<cstdio>

#include<cstring>

#define ll long long

using namespace std;

ll n,mod,p,q,r,t,u,v,w,x,y,z;

ll f[][],a[][];

ll slow_mul(ll a,ll b){

    ll ans=;

    while(b){

        if(b&){

            b--;ans+=a;ans%=mod;

        }

        a<<=;a%=mod;b>>=;

    }

    return ans;

}

void mul(ll a[][],ll b[][]){

    ll c[][];memset(c,,sizeof(c));

    for(int i=;i<=;i++)

        for(int j=;j<=;j++)

            for(int k=;k<=;k++)

                c[i][j]=(c[i][j]+slow_mul(a[i][k],b[k][j]))%mod;

    for(int i=;i<=;i++)

        for(int j=;j<=;j++)

            a[i][j]=c[i][j];

}

int main()

{

    cin>>n>>mod>>p>>q>>r>>t>>u>>v>>w>>x>>y>>z;n-=;

    f[][]=f[][]=f[][]=;f[][]=f[][]=f[][]=;

    f[][]=f[][]=f[][]=;f[][]=w;f[][]=z;

    a[][]=p;a[][]=q;a[][]=r;a[][]=t;a[][]=u;

    a[][]=v;a[][]=x;a[][]=y;a[][]=a[][]=;

    a[][]=w;a[][]=z;

    a[][]=a[][]=a[][]=a[][]=a[][]=a[][]=;

    a[][]=a[][]=a[][]=a[][]=a[][]=a[][]=;

    a[][]=a[][]=a[][]=a[][]=a[][]=a[][]=;

    while(n){

        if(n&)mul(f,a);

        mul(a,a);n>>=;

    }

    cout<<"nodgd"<<" "<<f[][]<<endl;

    cout<<"Ciocio"<<" "<<f[][]<<endl;

    cout<<"Nicole"<<" "<<f[][]<<endl;

    return ;

}