UVALive 5713 Qin Shi Huang's National Road System（次小生成树）

题意：对于已知的网络构建道路，使城市两两之间能够互相到达。其中一条道路是可以免费修建的，问需要修建的总长度B与免费修建的道路所连接的两城市的人口之和A的比值A/B最大是多少。

因为是求A/B的最大值，自然A越大，B越小越好。B的最小值是可以用最小生成树算法求解的，但是，由于免费修建一条道路，使得B值<最小生成树的权值和cnt。

于是，就要考虑究竟选择哪条边作为免费修建？只考虑生成树上的边还是全部边都要考虑？仔细想一下，就会发现任何一条边都存在这样的可能性。而A/B的值同时收A、B的影响，即B可以稍微大一点，只要A增大的倍数更大，那么A/B就会出现一个更优解。

至此，选择枚举每一条边(u,v)作为可能免费修建的边。当然，若它在最小生成树上，那么B==cnt-边权；若它不在最小生成树上，那么加上该条边相当于在树形结构上构造了一个环，那么减去环上任何一条边（当然不能是新加的这条边），又构成一棵树。当删除的是原树上u,v两点唯一路径上权值最大的一条边时，这棵树就是对应于所加的边（u，v）的“次小生成树”（这里的次小不是真正的次小）。为什么一定是当前次小呢？由kruskal算法可知，这是通过贪心构造出的一棵树，新加上的边必然是环上的最大值（否则就不会是最小生成树了），而不在环上的边可以保证最小，所以通过如上构造，得到了一棵确定选择边（u，v）后的最小生成树，也是原图的一颗次小生成树（究竟是不是真的是次小，要比较完全部的“次小生成树”才能得到，并且注意次小生成树不唯一）。

用prim算法实现，记录(u,v)两两之间的路径上的最大值：每次记录即将加入生成树的点v与已加入的点之间的最大值，f[v]=max{f[u],w(u,v)}，u是v的父亲。

 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<cmath>
 #include<vector>
 #include<algorithm>
 #define clr(a,m) memset(a,m,sizeof(a))
 #define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
 using namespace std;

 const int MAXN=;
 const double INF =1e9;

 struct Point{
     int c;
     double x,y;
 }p[MAXN];

 double mp[MAXN][MAXN],f[MAXN][MAXN];

 double d[MAXN];
 int vis[MAXN],fa[MAXN];

 double prim(int n)
 {
     vector<int>q;
     double cnt=;

     clr(vis,);
     rep(i,,n)
         d[i]=INF;
     d[]=;
     fa[]=;
     rep(i,,n){
         int x;
         double m=INF;
         rep(y,,n)
             if(!vis[y]&&d[y]<m)
                 m=d[x=y];
         vis[x]=true;
         cnt+=mp[fa[x]][x];

         int sz=q.size();
         rep(j,,sz-){
             f[q[j]][x]=f[x][q[j]]=max(f[q[j]][fa[x]],mp[fa[x]][x]);
         }
         q.push_back(x);

         rep(y,,n)
             if(!vis[y]&&mp[x][y]<d[y]){
                 d[y]=mp[x][y];
                 fa[y]=x;
             }
     }
     return cnt;
 }

 void print(int n,double cnt)
 {
     double m=;
     rep(i,,n)
         rep(j,i+,n){
             double s=cnt-f[i][j];
             double t=p[i].c+p[j].c;
             m=max(m,t/s);
         }
     printf("%.2f\n",m);
 }

 int main()
 {
     int T,n;
     scanf("%d",&T);
     while(T--)
     {
         scanf("%d",&n);
         rep(i,,n)
             scanf("%lf%lf%d",&p[i].x,&p[i].y,&p[i].c);
         rep(i,,n){
             mp[i][i]=;
             rep(j,i+,n)
                 mp[i][j]=mp[j][i]=sqrt((p[i].x-p[j].x)*(p[i].x-p[j].x)+(p[i].y-p[j].y)*(p[i].y-p[j].y));
         }
         double cnt=prim(n);
         print(n,cnt);
     }
     return ;
 }