[动态规划]P1378 油滴扩展

题目描述

在一个长方形框子里，最多有N（0≤N≤6）个相异的点，在其中任何一个点上放一个很小的油滴，那么这个油滴会一直扩展，直到接触到其他油滴或者框子的边界。必须等一个油滴扩展完毕才能放置下一个油滴。那么应该按照怎样的顺序在这N个点上放置油滴，才能使放置完毕后所有油滴占据的总体积最大呢？（不同的油滴不会相互融合）

注：圆的面积公式V=pirr，其中r为圆的半径。

输入输出格式

输入格式：

第1行一个整数N。

第2行为长方形边框一个顶点及其对角顶点的坐标，x,y,x’,y’。
接下去N行，每行两个整数xi,yi，表示盒子的N个点的坐标。
以上所有的数据都在[-1000，1000]内。

输出格式：

一行，一个整数，长方形盒子剩余的最小空间（结果四舍五入输出）

输入输出样例

输入样例#1：

2
20 0 10 10
13 3
17 7

输出样例#1：

50
解释:

---------题解(Gelphue),老天爷都找不到更良心的题解了---------

对于这道题(好久没写搜索了呢),对答案起决定性因素的是点拓展的顺序(DFS就是在搜索TA),其次就是对题中各种要求的处理,列表:

• 1.对于所给长方形,为了统一形式,设点kup为左上角,lap为右下角,且横坐标为Y,纵坐标为X(横坐标为j,纵坐标为i);处理方式为:

      cin >> n;
  cin >> kup.x >> kup.y >> lap.x >> lap.y;
  if (kup.x > lap.x) swap(kup.x, lap.x);//保证左上角的横坐标严格小于右下角的横坐标
  if (kup.y > lap.y) swap(kup.y, lap.y);//保证左上角的纵坐标严格小于右下角的纵坐标

• 2.对于输入的N个点以及左上,右下坐标,全部自减点kup(坐上坐标),以使长方形的左上角与坐标原点重合,即所有点都在第四象限类,每一的点拓展出去的半径r初始化为0,处理方案为:

     for (int i = 1; i <= n; i++)
      cin >> a[i].x >> a[i].y,
      a[i].x -= kup.x,
      a[i].y -= kup.y,
      a[i].r = 0;
  lap.x -= kup.x, lap.y -= kup.y;

• 3.预处理每两个点之间的距离,用二维数组贮存,处理方案为:

  for (int i = 1; i <= n; i++)
  {
      for (int j = 1; j < i; j++)
          dist[i][j] = sqrt(pow(a[i].x - a[j].x, 2) + pow(a[i].y - a[j].y, 2)),
          dist[j][i] = dist[i][j];//a[i]到a[j] 和 a[j]到a[i] 的距离相同
  }

• 4.用DOUBLE anso表示在不同的拓展顺序中能得到的最大半径和(为 a[1].r^2+a[2].r^2+...+a[N].r^2),输出则用长方形面积(lap.xlap.y)减去总共圆的面积(为 ansoPi),处理方案为(推导过程就不必说了吧):

  dfs(1);
  cout << (int)(lap.x*lap.y - floor(anso*Pi + 1.0 / 2)) << endl;

• 5.先上一份dfs()的代码:

  void dfs(int d)
  {
  if (d > n)
  {
      double tem_as = 0.0;//统计在这种顺序下的半径平方和
      for (int i = 1; i <= n; i++)
          tem_as += a[i].r_R;//为了优化时间复杂度,把a[i].r*a[i].r单独作为一个成员变量(a[i].r_R)
      anso = max(anso, tem_as);//更性较大值
  }
  for (int i = 1; i <= n; i++)
      if (!use[i])//还没有被搜过
      {
          use[i] = 1;
          {//以下高能,稍后解释*1
              a[i].r = min(min(a[i].x, lap.x - a[i].x), min(a[i].y, lap.y - a[i].y));
              for (int k = 1; k <= n; k++)
                  if (use[k]&& k!=i)
                  {
                      a[i].r = min(a[i].r, dist[i][k] - a[k].r);
                  }
              if (a[i].r < 0) a[i].r = 0;
          }
          a[i].r_R = a[i].r*a[i].r;//更新半径平方
          dfs(d + 1);//进行下一层搜索
          use[i] = 0;
      }
   }
  /*1:解释在这儿:对于正在搜的点,要满足a[i]在长方形以内,则需要满足
  a[i].x-a[i].r>=0,
   a[i].y-a[i].r>=0,
   a[i].x+a[i].r<=lap.x,
   a[i].y+a[i].r<+lap.y.
  所以有了这一句话:
  a[i].r = min(min(a[i].x, lap.x - a[i].x), min(a[i].y, lap.y - a[i].y));
  ;然后就要找所有已经找过的点(a[k])一一和a[i]进行比较,其中a[i].r必须要满足:
     a[i].r+a[k].r<=dist[i][k],
  至于为什么,这里扔一张图
  */

  pic=6381
  https://cdn.luogu.org/upload/pic/6381.png

好了,综上所述,完整的代码在这里

// 动态规划专题(zx).cpp : 定义控制台应用程序的入口点。
//Strengthen self without stopping, and hold world with virtue
//

#include "stdafx.h"
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define Pi (double)3.14159265358
#define redef ios::sync_with_stdio(false),cout.tie(NULL);

int n;
double dist[7][7];
double anso=0;
bool use[7];
struct pl
{
    double x, y, r;
    double r_R;//r_R=:r*r;
    bool operator < (const pl&oth)const
    {
        return (x <= oth.x && y <= oth.y);
    }
}a[7], kup, lap;

void dfs(int d)
{
    if (d > n)
    {
        double tem_as = 0.0;
        for (int i = 1; i <= n; i++)
            tem_as += a[i].r_R;
        anso = max(anso, tem_as);
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        if (!use[i])
        {
            use[i] = 1;
            {
                a[i].r = min(min(a[i].x, lap.x - a[i].x), min(a[i].y, lap.y - a[i].y));
                for (int k = 1; k <= n; k++)
                    if (use[k]&& k!=i)
                    {
                        a[i].r = min(a[i].r, dist[i][k] - a[k].r);
                    }
                if (a[i].r < 0) a[i].r = 0;
            }
            a[i].r_R = a[i].r*a[i].r;
            dfs(d + 1);
            use[i] = 0;
        }
}

int main()
{
    redef cin >> n;
    cin >> kup.x >> kup.y >> lap.x >> lap.y;
    {
        if (kup.x > lap.x) swap(kup.x, lap.x);
        if (kup.y > lap.y) swap(kup.y, lap.y);
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        cin >> a[i].x >> a[i].y,
        a[i].x -= kup.x,
        a[i].y -= kup.y,
        a[i].r = 0;
    lap.x -= kup.x, lap.y -= kup.y;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        for (int j = 1; j < i; j++)
            dist[i][j] = sqrt(pow(a[i].x - a[j].x, 2) + pow(a[i].y - a[j].y, 2)),
            dist[j][i] = dist[i][j];
    }
    dfs(1);
    cout << (int)(lap.x*lap.y - floor(anso*Pi + 1.0 / 2)) << endl;
    return 0;
}