P8842 [传智杯 #4 初赛] 小卡与质数2

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变态数学题（主考位运算与素数筛）。

读完题看起来有点难做，因为质数的出现是根本没有可以使用的规律。暴力的话也很好想，枚举 $y$。但是肯定会超时。我们也可以换个方向枚举。对，筛出素数，再返过去判断有多少个素数符合条件，但任然会超时。

再思考一下，$x$ 异或上什么样的数才能使结果小于 $x$？

注意下面的步骤需要草稿纸推演，不然会有点难理解。

我们设符合条件的素数为 $k$ ，我们设 $k$ 的二进制中最高位是第 $M$ 位，不难发现，只有在 $x$ 的第 $M$ 位上也是 $1$ 的时候，$k$ 异或 $x$ 的结果小于 $x$（这一步若实在想不通的可以拉到文末，查看证明过程）。

随即。我们用素数筛，并统计范围内所有素数的最高位是哪一位，对于每个询问把 $x$ 每位拆开，若发现某一位是 $1$，则加上桶里已经计算好的，二进制数该位为 $1$ 的素数个数。

代码奉上：

#include<iostream>
using namespace std;
int T,n,m,ans;
int zhi[2000010],cnt[26];
bool f[2000010];
void IAKchuanzhibei(){
    //素数筛 （欧拉筛法）
    for(int i=2;i<=2000000;i++){
        if(!f[i])zhi[++m]=i;
        for(int j=1;j<=m&&i*zhi[j]<=2000000;j++){
            f[i*zhi[j]]=1;
            if(!(i%(zhi[j])))break;
        }
    }
    //开桶记录
    for(int i=1;i<=m;i++)
        for(int j=25;j>=1;j--)//由于1000000内最大的质数为999983,转成二进制为1111 0100 0010 0010 1111，共24位，为保险起见，这里从25开始计算
            if(zhi[i]&(1<<(j-1))){
                cnt[j]++;//计算当质数为j位时，一共的个数
                break;
            }
}
int main()
{
    //预处理
    IAKchuanzhibei();

    cin>>T;
    while(T--)
    {
        cin>>n;
        ans=0;
        for(int i=25;i>=1;i--) if(n&(1<<(i-1))) ans+=cnt[i];//加上所有符合条件的素数
        cout<<ans<<endl;
    }
    return 0;
}

证明过程：

观点一：那么 $k$ 异或 $x$ 的结果从 $M+1$ 位开始与 $x$ 的 $M+1$ 位开始的部分相同。因为 $k$ 的 $M+1$ 位以上的部分均为 $0$，因为 $1$ 异或 $0$ 的结果为 $1$，$0$ 异或 $0$ 的结果为 $0$，所以保持不变。

观点二：那么重点来到 $M$ 位，由于 $k$ 的 $M$ 位一定为 $1$，那么如果 $x$ 的 $M$ 位也为 $1$，异或一下结果为 $0$，即小于原来 $x$ 的 $M$ 位，那么异或的结果一定小于 $x$。若 $x$ 的 $M$ 位为 $0$，则反之。

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我们设 $x=13$，并拿质数 $3$ 和 $5$ 举例。

$13$ 的二进制：$1101$。

$3$ 的二进制：$0011$ 异或结果：$1110$。

前两位与 $1101$ 相同（观点一）。

第二位（$M$ 位）为 $1$，大于原来的 $0$。所以无论后面几位为什么，异或结果都比 $1101$ 大。（观点二）。

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$5$ 的二进制：$0101$ 异或结果：$1000$。

前一位与 $1101$ 相同（观点一）。

第三位（$M$ 位）为 $0$，小于原来的 $1$。所以无论后面几位为什么，异或结果都比 $1101$ 小。（观点二）。