http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2693

Description

 

Input

一个正整数T表示数据组数

接下来T行 每行两个正整数 表示N、M

Output

T行 每行一个整数 表示第i组数据的结果

Sample Input

1
4 5

Sample Output

122

——————————————————————————————————————————

图片和题解参考均来自于https://www.cnblogs.com/GXZlegend/p/7000042.html以其这里面的链接。

推导过程如图:

这里说一下比较不好理解的步骤。

将每一行边号从1开始。

2:只是变成了枚举gcd的取值,然后判断是否应该取即可。

3:i变成了i/p之后自然需要乘p*p,一约分就成了3式子。

以及最后一个fn当中的所有k应当为n。

然后引用上面的博客来求fn:

设f1(n)=n2mu(n),f2(n)=n,则显然f2是积性函数,f1为两个积性函数的乘积,也是积性函数。

那么f为f1和f2的狄利克雷卷积,也是积性函数。

所以可以尝试快筛f(n)。

当n为质数时,显然f(n)=n-n^2。

当n不为质数时,即n=i*p,p|i,p是质数,那么观察f(n)化简之后的式子,n新增加出来的约数一定是包含p^2的,它的mu值一定是0,所以f(n)的改变只是从i*...变为了n*...,所以此时f(n)=f(i)*p。

#include<cstdio>
#include<queue>
#include<cctype>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=;
const int p=1e8+;
inline int read(){
int X=;char ch=;
while(!isdigit(ch))ch=getchar();
while(isdigit(ch))X=(X<<)+(X<<)+(ch^),ch=getchar();
return X;
}
ll f[N],su[N];
bool he[N];
inline ll s(ll x){
return x*(x+)/%p;
}
void Euler(int n){
int tot=;
f[]=;
for(int i=;i<=n;i++){
if(!he[i]){
su[++tot]=i;
f[i]=(ll)((i-(ll)i*i)%p+p)%p;
}
for(int j=;j<=tot;j++){
if(i*su[j]>n)break;
he[i*su[j]]=;
if(i%su[j]==){
f[i*su[j]]=f[i]*su[j]%p;
break;
}
else f[i*su[j]]=f[i]*f[su[j]]%p;
}
}
for(int i=;i<=n;i++){
f[i]+=f[i-];
if(f[i]>=p)f[i]-=p;
}
return;
}
int main(){
Euler();
int t=read();
while(t--){
int n=read(),m=read(),ans=;
if(n>m)swap(n,m);
for(int i=,j;i<=n;i=j+){
j=min(n/(n/i),m/(m/i));
ans+=(ll)(f[j]-f[i-])*s(n/i)%p*s(m/i)%p;
if(ans<)ans+=p;
if(ans>=p)ans-=p;
}
printf("%d\n",ans);
}
return ;
}

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