「专题训练」Machine Schedule(HDU-1150)
题意
在一个工厂,有两台机器\(A, B\)生产产品。\(A\)机器有\(n\)种工作模式(模式\(0\),模式\(1\)……模式\(n-1\))。\(B\)机器有\(m\)种工作模式(模式\(0\),模式\(1\)……模式\(m-1\))。现要加工k个产品,每个产品可以由两台机器特定的模式生产,如产品0,可以由A机器在3号模式或B机器4号模式生产。两台机器初始模式都在模式0,但是,这两台机器不是很先进,如果需要切换模式,只能由人手工切换模式,手工切换可以切换到任意模式。求加工完k个产品需要切换模式的最少次数。(生产产品的顺序可以任意)
分析
如何建模?把A、B机器的模式抽象成点,然后把每个产品抽象成边,如果可以在\((A_i,B_j)\)下生产,建一条边(对于一个顶点为0的不建边)。然后求最少的点(模式)以覆盖所有的边(产品)。
于是成功的抽象成二分图的经典问题。
思考一下,为什么二分图的最小顶点覆盖能够通过二分图匹配来做。
- 首先,最小顶点覆盖数一定大于等于最大匹配数。不妨假设最大匹配为\(n\),那么一定有\(n\)条互不相邻的边,对这些边的覆盖至少要\(n\)个点。
- 上面考虑了匹配内的边/点。对于匹配范围外的节点,有两种情况:一种就是有边和匹配范围内元素相连但是没有匹配到,一种就是没边。对于第二种情况当作无事发生过,而对于第一种情况,有边的话这个边就和匹配范围的顶点打交道了,那这个顶点覆盖代表元素就又能够连接上匹配边,又能同非匹配边相连,这样,就不需要增加额外的顶点了。因此,我们有结论:匹配范围外的所有节点都不可能影响到最小顶点覆盖数,所以两者完全相等。
代码
这份代码会更为具体的解释相关细节。有错误欢迎指正,谢谢茄子。
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <vector>
#define MP make_pair
#define PB push_back
#define fi first
#define se second
#define ZERO(x) memset((x), 0, sizeof(x))
#define ALL(x) (x).begin(),(x).end()
#define rep(i, a, b) for (int i = (a); i <= (b); ++i)
#define per(i, a, b) for (int i = (a); i >= (b); --i)
#define QUICKIO \
ios::sync_with_stdio(false); \
cin.tie(0); \
cout.tie(0);
#define MS(x,y) memset(x,y,sizeof(x))
using namespace std;
bool mat[105][105],vis[105];
int n,m;
int link[105];
bool dfs(int x) //通过dfs拓展增广路,总是从左侧(u->v)开始。如果是个无向图的话,
{ //就不仅仅从左侧开始了,那种情况下的匹配要除以2。
rep(i,1,m)
{
if(mat[x][i] && !vis[i]) //有边,未拓展过
{
vis[i]=true;
if(link[i]==-1 || dfs(link[i])) //这个link[i]数组干什么吃的呢?用来标记i点走的上一个点的(邻接矩阵)。
{ //什么情况下会返回true?1. 从x点出发到的这个i点没被访问过(走了一条未匹配边)
link[i]=x; //2.i被访问过,有一条边(link[i]=>i),但是存在一条未访问边能够从link[i]走到其它地方
return true; //这样的情况下就是匹配边->未匹配边,发现增广路。这两种情况下找匹配。
} //而且对增广路的改进能够保证x点出发有边可以走,所以返回true的时候能够让答案++。
}
}
return false; // 这个点没法再构成增广路了,也就没法再改进匹配了。
}
int hungary()
{
int ans=0;
rep(i,1,n)
{
ZERO(vis);
if(dfs(i)) ans++; //一个点只能够构成一个匹配
}
return ans;
}
int main()
{
int k;
while(scanf("%d",&n)==1)
{
if(!n) break;
scanf("%d%d",&m,&k);
ZERO(mat);
ZERO(vis);
MS(link,-1);
rep(i,1,k)
{
int a,b,ti;
scanf("%d%d%d",&ti, &a, &b);
if(a && b) mat[a][b]=1;
}
printf("%d\n", hungary());
}
return 0;
}
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