「专题训练」Machine Schedule（HDU-1150）

题意

在一个工厂，有两台机器\(A, B\)生产产品。\(A\)机器有\(n\)种工作模式（模式\(0\)，模式\(1\)……模式\(n-1\)）。\(B\)机器有\(m\)种工作模式（模式\(0\),模式\(1\)……模式\(m-1\)）。现要加工k个产品，每个产品可以由两台机器特定的模式生产，如产品0，可以由A机器在3号模式或B机器4号模式生产。两台机器初始模式都在模式0，但是，这两台机器不是很先进，如果需要切换模式，只能由人手工切换模式，手工切换可以切换到任意模式。求加工完k个产品需要切换模式的最少次数。（生产产品的顺序可以任意）

分析

如何建模？把A、B机器的模式抽象成点，然后把每个产品抽象成边，如果可以在\((A_i,B_j)\)下生产，建一条边（对于一个顶点为0的不建边）。然后求最少的点（模式）以覆盖所有的边（产品）。

于是成功的抽象成二分图的经典问题。

思考一下，为什么二分图的最小顶点覆盖能够通过二分图匹配来做。

1. 首先，最小顶点覆盖数一定大于等于最大匹配数。不妨假设最大匹配为\(n\)，那么一定有\(n\)条互不相邻的边，对这些边的覆盖至少要\(n\)个点。
2. 上面考虑了匹配内的边/点。对于匹配范围外的节点，有两种情况：一种就是有边和匹配范围内元素相连但是没有匹配到，一种就是没边。对于第二种情况当作无事发生过，而对于第一种情况，有边的话这个边就和匹配范围的顶点打交道了，那这个顶点覆盖代表元素就又能够连接上匹配边，又能同非匹配边相连，这样，就不需要增加额外的顶点了。因此，我们有结论：匹配范围外的所有节点都不可能影响到最小顶点覆盖数，所以两者完全相等。

代码

这份代码会更为具体的解释相关细节。有错误欢迎指正，谢谢茄子。

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <vector>
#define MP make_pair
#define PB push_back
#define fi first
#define se second
#define ZERO(x) memset((x), 0, sizeof(x))
#define ALL(x) (x).begin(),(x).end()
#define rep(i, a, b) for (int i = (a); i <= (b); ++i)
#define per(i, a, b) for (int i = (a); i >= (b); --i)
#define QUICKIO                  \
    ios::sync_with_stdio(false); \
    cin.tie(0);                  \
    cout.tie(0);
#define MS(x,y) memset(x,y,sizeof(x))
using namespace std;

bool mat[105][105],vis[105];
int n,m;
int link[105];

bool dfs(int x) //通过dfs拓展增广路，总是从左侧(u->v)开始。如果是个无向图的话，
{                     //就不仅仅从左侧开始了，那种情况下的匹配要除以2。
	rep(i,1,m)
	{
		if(mat[x][i] && !vis[i]) //有边，未拓展过
		{
			vis[i]=true;
			if(link[i]==-1 || dfs(link[i])) //这个link[i]数组干什么吃的呢？用来标记i点走的上一个点的（邻接矩阵）。
			{                                       //什么情况下会返回true？1. 从x点出发到的这个i点没被访问过（走了一条未匹配边）
				link[i]=x;                   //2.i被访问过，有一条边(link[i]=>i)，但是存在一条未访问边能够从link[i]走到其它地方
				return true;              //这样的情况下就是匹配边->未匹配边，发现增广路。这两种情况下找匹配。
			}                                      //而且对增广路的改进能够保证x点出发有边可以走，所以返回true的时候能够让答案++。
		}
	}
	return false; // 这个点没法再构成增广路了，也就没法再改进匹配了。
}

int hungary()
{
	int ans=0;
	rep(i,1,n)
	{
		ZERO(vis);
		if(dfs(i)) ans++; //一个点只能够构成一个匹配
	}
	return ans;
}

int main()
{
	int k;
	while(scanf("%d",&n)==1)
	{
		if(!n) break;
		scanf("%d%d",&m,&k);
		ZERO(mat);
		ZERO(vis);
		MS(link,-1);
		rep(i,1,k)
		{
			int a,b,ti;
			scanf("%d%d%d",&ti, &a, &b);
			if(a && b) mat[a][b]=1;
		}
		printf("%d\n", hungary());
	}
	return 0;
}