扩展欧几里得(exgcd)与同余详解
exgcd入门以及同余基础
gcd,欧几里得的智慧结晶,信息竞赛的重要算法,数论的...(编不下去了
讲exgcd之前,我们先普及一下同余的性质:
- 若
,那么
- 若
,
,且p1,p2互质,
有了这三个式子,就不用怕在计算时溢出了。
下面我会用与
分别表示a与b的最大公约数与最小公倍数。
首先会来学扩欧的同学肯定都会欧几里得算法(即辗转相除法)了吧
而通过观察发现:,先除后乘防溢出。
所以与
的代码如下:
inline int gcd(int a,int b)
{return (b==)?a:gcd(b,a%b);}
inline int lcm(int a,int b)
{return a/gcd(a,b)*b;
讲exgcd之前先引入一种方程——不定方程
所谓不定方程,是指未知数的个数多于方程个数,且未知数受到某些限制(如要求是有理数、整数或正整数等等)的方程或方程组。
————百度百科
就是形如的方程,其中a,b,c已知。
1.判断是否有解
如果,那么方程无解。
2.转化
方程可转化为,
其中,
,
3.求一组特解
接着就用到了exgcd。
我们知道gcd有一个性质
如果,一直循环下去,b将等于0,那么x将等于c/a,y=0。
inline void exgcd(int a,int b,int c)
{
if(!b)
{x=c/a;y=;return;}
exgcd(b,a%b,c);
x=y;
y=(c-a*x)/b;
return;
}
这就求出了一组特解。
exgcd的模板我也在这摆出来
inline void exgcd(int a,int b)
{
if(!b)
{x=;y=;return;}
exgcd(b,a%b);
k=x;x=y;
y=k-a/b*y;
return;
}
这是求时用的,后面讲同余方程会讲。
4.构造通解
我们假设x1,y1是我们求出的一组特解,那么
同余类问题
1.单个同余方程
求的是关于x的解
转化一下,就成了,就可以直接套exgcd模板。
2.同余方程组
1.有解的充要条件
2.
下式减上式得
再用exgcd求出y1和y2,
3.关于通解
所有的x mod lcm(p1,p2)有唯一解,这样就可以通过特解,求通解了。
4.至于式子更多的同余方程组,就先联立两个,就可以得出新的方程
再联立下一个。
exgcd用处及题目讲解
1.求同余方程的解
例如这道题P1082
这是一道裸的扩欧模板题,变形之后就是求。
套模板即可。
inline void exgcd(int a,int b)
{
if(b==)
{x=;y=;return;}
exgcd(b,a%b);
k=x;x=y;
y=k-a/b*y;
return;
}
int main()
{
int n,m;
read(n),read(m);
exgcd(n,m);
printf("%d",(x+m)%m);
}
还有一道模板P1516
仔细观察,推一下后我们发现,这在就是在求的解。
进而可以推出
合并同类项后
把一些东西移到左边来后
把(x-y),(n-m)各看成一个整体后,问题就成了解一个不定方程。
inline int exgcd(long long a,long long b)
{
if(b==)
{x=;y=;return a;}
ans=exgcd(b,a%b);
k=x;x=y;
y=k-a/b*y;
return ans;
}
int main()
{
long long x1,y1,m,n,l;
read(x1),read(y1),read(m),read(n),read(l);
if(n-m<)swap(x1,y1);
exgcd(std::abs(n-m),l);
if((x1-y1)%ans!=)
printf("Impossible");
else
printf("%lld",((x*((x1-y1)/ans))%(l/ans)+(l/ans))%(l/ans));
}
还有一道也是模板P4777,涉及同余方程组求解,上面已详细的讲了,近期我也会发一篇中国剩余定理的博客
inline long long mul(long long a,long long b,long long mod)
{
long long res=;
while(b>)
{
if(b&) res=(res+a)%mod;
a=(a+a)%mod;
b>>=;
}
return res;
}
long long exgcd(long long a,long long b,long long &x,long long &y)
{
if(!b)
{x=;y=;return a;}
long long gcd=exgcd(b,a%b,x,y);
k1=x;x=y;
y=k1-a/b*y;
return gcd;
}
int main()
{
io::begin();
io::read(n);
for(register int i=;i<=n;i++)
io::read(b1[i]),io::read(a1[i]);
long long x,y,k;
long long m=b1[],ans=a1[];
for(int i=;i<=n;i++)
{
long long a=m,b=b1[i],c=(a1[i]-ans%b+b)%b;
long long gcd=exgcd(a,b,x,y);
long long p=b/gcd;
x=mul(x,c/gcd,p);
ans+=x*m;
m*=p;
ans=(ans%m+m)%m;
}
printf("%lld",(ans%m+m)%m);
}
2.扩欧求逆元
这是一种很重要的算法,至于逆元怎么跟扩欧扯上关系,大家可以点这里乘法逆元及两道模板题详解
这里就不多赘述了,大家可以用扩欧a一下P3811,P2613。
我要讲的讲完了,如果觉得讲的还好,请关注我的blog,谢谢
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