浅谈扩展欧几里得[exgcd] By cellur925

关于扩展欧几里得从寒假时就很迷，抄题解过了同余方程，但是原理并不理解。

今天终于把坑填上了qwq。

由于本人太菜，不会用markdown，所以这篇总结是手写的（什么）。（字丑不要嫌弃嘛）

********Update9.28**********

刚刚我们求出的是一组特值，那么如何求通值?

约定：设x0,y0为一组特解，t为任意整数，设a>b（不行再交换）

那么有　　x=x0+b/gcd*t
　　　　　y=y0-a/gcd*t

*******************************

奉上三道例题：

Ep1 青蛙的约会 Luogu P1516

花姐姐（@皎月半洒花）说的太棒了，我都不忍再去添加什么。

奉上链接，侵删！

Code

 #include<cstdio>
 #include<algorithm>
 #include<cmath>

 using namespace std;
 typedef long long ll;

 ll xx,yy,ans;
 ll x,y,m,n,t;

 ll exgcd(ll a,ll b,ll &xx,ll &yy)
 {
     if(!b)
     {
         xx=;
         yy=;
         return a;
     }
     ans=exgcd(b,a%b,xx,yy);
     ll tmp=xx;
     xx=yy;
     yy=tmp-a/b*yy;
     return ans;
 }

 int main()
 {
     scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&x,&y,&m,&n,&t);
     ll a=n-m,z=x-y;
     if(a<) a=-a,z=-z;
     exgcd(a,t,xx,yy);
     if(z%ans) printf("Impossible");
     else printf("%lld",((xx*(z/ans))%(t/ans)+(t/ans))%(t/ans));
     return ;
 }

注意体会同余方程转线性方程的思想与做法！

Ep2 倒酒 Luogu P1292

容易看出，得到酒的最小体积是gcd(a,b),这种思想在我以前写的“瓶子和燃料”一题中有所体现。模拟一下就可以发现，之后的次数就是ax+by=gcd(a,b)的一组最小解。

套exgcd板子就行了，但是注意取最小值的那一部分，其实感觉每个题取最小值的方法都各有千秋，都要独立思考，这是关键。

一个不错的题解，侵删。

Code

 #include<cstdio>
 #include<algorithm>

 using namespace std;
 typedef long long ll ;

 ll a,b,x,y,ans;

 ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
 {
     if(!b)
     {
         x=;y=;
         return a;
     }
     ll d=exgcd(b,a%b,x,y);
     ll tmp=x;
     x=y;
     y=tmp-y*(a/b);
     return d;
 }

 int main()
 {
     scanf("%lld%lld",&a,&b);
     ans=exgcd(a,b,x,y);
     printf("%lld\n",ans);
     a/=ans,b/=ans;
     while(x>) x-=b,y+=a;
     while(x+b<=&&y>=a) x+=b,y-=a;
     printf("%lld %lld",-x,y);
     return ;
 }

ps:while(x>0)那里如果写成while(x)竟会死循环，还是老实一点吧。

Ep3 同余方程 Luogu P1082

把同余方程转一下。直接套exgcd模板，取最小值部分，lyd老师的讲解：

“用exgcd求出一组特解x0,y0,则x0就是原方程的一个解，通解为所有膜b与x0同余的整数，通过取模操作把解的范围移动到1~b”之间，就得到了最小正整数解。”

Code

 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #include<cmath>
 #include<algorithm>
 using namespace std;
 int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
 {
     if(b==)
     {
           x=;
           y=;
           return a;
     }
     int r=exgcd(b,a%b,x,y);
     int t=x;
     x=y;
     y=t-a/b*y;
     return r;  

 }
 int main()
 {
     int a,b,x,y;
     scanf("%d%d",&a,&b);
     exgcd(a,b,x,y);
     cout<<(x+b)%b;
     return ;
 }