[物理学与PDEs]第1章第2节 预备知识 2.1 Coulomb 定律, 静电场的散度与旋度

1. Coulomb 定律, 电场强度

(1) 真空中 $P_1$ 处有电荷 $q_1$, $P$ 处有电荷 $q$, ${\bf r}_1=\vec{P_1P}$, 则 $q$ 所受的力为 $$\bex {\bf F}=\cfrac{1}{4\pi \ve_0} \cfrac{qq_1{\bf r}_1}{r_1^3}, \eex$$ 其中 $\ve_0=8. 85419\times 10^{-2}C^2/(N\cdot m^2)$ 为介电常数.

(2) 由微积分, 真空中点电荷 $q$ 受一连续分布在空间区域 $\Omega$ 中的电荷的作用力为 $$\bex {\bf F}=\cfrac{1}{4\pi\ve_0}\int_\Omega \cfrac{q\rho {\bf r}}{r^3}\rd V, \eex$$ 其中 $\rho$ 为电荷分布的体密度, ${\bf r}$ 为 $q$ 到体积元 $\rd V$ 的矢径, $r=|{\bf r}|$.

(3) 电场是一种空间, 于其中电荷将收到力的作用.

(4) 电场是物质存在的一种形式, 它可以离开电荷而独立存在, 比如变化的磁场产生电场.

(5) 由静电荷产生的电场称为静电场.

(6) 电场强度 ${\bf E}=(E_x,E_y,E_z)$, 是描述电荷在电厂中受力情况的物理量, 用静止的单位正电荷 (试验电荷) 在该点处所受的力来衡量.

(7) 由微积分, 由连续分布在空间区域 $\Omega$ 中电荷产生的电场强度为 $$\bex {\bf E}=\cfrac{1}{4\pi\ve_0}\int_\Omega \cfrac{\rho {\bf r}_{P'P}}{r_{P'P}^3}\rd V_{P'}. \eex$$

2. Gauss 定理

(1) 电场强度 ${\bf E}$ 有曲线积分, 称为电场线.

(2) 习惯上, $|{\bf E}|$ 越大, 电场线越密集, $|{\bf E}|$ 越小, 电场线越稀疏.

(3) 穿过有向曲面 $S$ 的电通量定义为 $$\bex \int_S {\bf E}\cdot{\bf n}\rd S, \eex$$ 其中 ${\bf n}$ 为 $S$ 的法方向.

(4) Gauss 定理的积分形式: 设 $\vGa$ 为一封闭曲面, $Q$ 为 $\vGa$ 内的电荷的代数和, 则有 $$\bex \int_{\vGa}{\bf E}\cdot{\bf n} \rd S=\cfrac{Q}{\ve_0}. \eex$$

证明: 由叠加原理, 仅须读 $Q$ 为点电荷的情形予以证明. 此时, $$\bex {\bf E}=\cfrac{1}{4\pi\ve_0}\cfrac{Q{\bf r}}{r^3}. \eex$$ 于是 $$\beex \bea \int_\vGa {\bf E}\cdot{\bf n}\rd S &=\cfrac{Q}{4\pi\ve_0} \int_\vGa \cfrac{(x-x_0)\rd x+(y-y_0)\rd y+(z-z_0)\rd z}{r^3}\\ &=\cfrac{Q}{4\pi\ve_0} \int_{|P'P|=\ve}\cfrac{(x-x_0)\rd x+(y-y_0)\rd y+(z-z_0)\rd z}{r^3}\quad\sex{Gauss\mbox{ 公式}}\\ &=\cfrac{Q}{4\pi \ve_0}\int_{|P'P|=\ve} \cfrac{{\bf r}\cdot{\bf n}}{r^3}\rd S\quad\sex{{\bf n}=\cfrac{{\bf r}}{r}}\\ &=\cfrac{Q}{4\pi\ve_0} \int_{|P'P|=\ve}\cfrac{1}{r^2}\rd S\\ &=\cfrac{Q}{\ve_0}. \eea \eeex$$

(5) Gauss 定理的微分形式: $$\bex \Div {\bf E}=\cfrac{\rho}{\ve_0}. \eex$$ 证明: $$\bex \cfrac{1}{\ve_0}\int_\Omega \rho \rd V=\cfrac{Q}{\ve_0} =\int_\vGa {\bf E}\cdot{\bf n}\rd S =\int_\Omega \Div {\bf E}\rd S. \eex$$

(6) 由 Gauss 定理的微分形式知静电场是有源场, 每个单位正电荷发出 $\cfrac{1}{\ve_0}$ 的电通量, 每个单位负电荷敛入 $\cfrac{1}{\ve_0}$ 的电通量.

(7) 静电场是无旋的: $\rot {\bf E}={\bf 0}$. 证明: $$\beex \bea \int_S \rot {\bf E}\cdot\n\rd S &=\int_l{\bf E}\cdot\rd {\bf l}\\ &=\cfrac{q}{4\pi\ve_0}\int_l\cfrac{{\bf r}}{r^3}\cdot \rd {\bf l}\\ &=\cfrac{q}{4\pi \ve_0} \int_l \cfrac{1}{r^3}\sez{(x-x_0)\rd x+(y-y_0)\rd y+(z-z_0)\rd z}\\ &=\cfrac{q}{4\pi \ve_0}\int_l\cfrac{1}{r^2}\rd r\\ &=-\cfrac{q}{4\pi \ve_0}\int_l\rd \cfrac{1}{r}\\ &=0. \eea \eeex$$

(8) 静电场的势 $\phi$: $$\bex \rot{\bf E}={\bf 0}\ra {\bf E}=-\n \phi. \eex$$ 如此, 电场线指向电势降低的方向, 而 $\phi$ 可以表示为 $$\bex \phi(x,y,z)=-\int_{(x_0,y_0,z_0)}^{(x,y,z)} {\bf E}\cdot\rd {\bf l}+\phi_0. \eex$$

(9) 位于原点、电量为 $Q$ 的点电荷产生的静电场的电势为 $$\beex \bea \phi(x,y,z)&=-\int_\infty^{(x,y,z)}\cfrac{1}{4\pi \ve_0}\cfrac{Q{\bf r}}{r^3}\rd {\bf l}\\ &=\int_{(x,y,z)}^\infty \cfrac{1}{4\pi\ve_0} \cfrac{Q}{r^3}(x\rd x+y\rd y+z\rd z)\\ &=\cfrac{Q}{4\pi\ve_0}\int_{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}^\infty \cfrac{1}{r^2}\rd r\\ &=\cfrac{1}{4\pi\ve_0}\cfrac{Q}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}. \eea \eeex$$

(10) 由微积分, 由连续分布在空间区域 $\Omega$ 中的电荷产生的静电场的电势为 $$\bex \phi(x,y,z)=\cfrac{1}{4\pi\ve_0}\int_\Omega \cfrac{\rho(P')}{r_{P'P}}\rd V_{P'}. \eex$$ (11) 综上, 静电场是有源 (散度为 $\rho/\ve_0$) 无旋场. [一般情形, $\Div{\bf E}=\rho/\ve_0$ 成立, 但 $\rot {\bf E}={\bf 0}$ 不再成立].